Libro de variables aleatorias y probabilidad social
10. Decisiones con incertidumbre usando probabilidades
Objetivos de la página
- Usar probabilidades para comparar alternativas en situaciones de incertidumbre.
- Identificar eventos favorables y eventos desfavorables en un contexto.
- Justificar decisiones usando tablas, gráficos y cálculos de probabilidad.
- Reconocer que una decisión basada en probabilidades no garantiza un resultado.
Decidir cuando no hay certeza
En muchas situaciones no se puede saber con seguridad qué ocurrirá, pero sí se pueden usar probabilidades para tomar una decisión más razonable.
Por ejemplo, si se comparan dos recorridos de transporte, puede interesar cuál tiene menor probabilidad de retraso. Si se comparan dos estrategias de estudio, puede interesar cuál tiene mayor probabilidad de completar una actividad.
La probabilidad no elimina la incertidumbre, pero ayuda a comparar alternativas con más información.
Procedimiento para tomar una decisión con probabilidades
- Identifica claramente las alternativas que se comparan.
- Define qué evento se considera favorable o desfavorable.
- Calcula la probabilidad de ese evento en cada alternativa.
- Compara las probabilidades obtenidas.
- Escribe una conclusión considerando el contexto.
Ejemplo 1: elegir una plataforma de estudio
Dos plataformas educativas muestran actividades de práctica. Se define:
\[ C=1 \text{ si el estudiante completa la actividad} \]
\[ C=0 \text{ si el estudiante no completa la actividad} \]
| \(c\) | Plataforma A | Plataforma B |
|---|---|---|
| \(0\) | \(0{,}25\) | \(0{,}40\) |
| \(1\) | \(0{,}75\) | \(0{,}60\) |
Plataforma A:
Plataforma B:
Si el objetivo es aumentar la probabilidad de completar la actividad, comparamos:
\[ P_A(C=1)=0{,}75 \]
\[ P_B(C=1)=0{,}60 \]
Como \(0{,}75>0{,}60\), la Plataforma A sería una mejor opción según este criterio.
Esto no garantiza que el estudiante completará la actividad, pero indica que, según la información dada, es más probable completarla usando la Plataforma A.
Ejemplo 2: elegir un recorrido con menos retrasos
Dos recorridos de bus tienen la siguiente distribución para la variable \(R\), donde \(R\) representa el número de retrasos en una semana.
| \(r\) | Recorrido A | Recorrido B |
|---|---|---|
| \(0\) | \(0{,}45\) | \(0{,}30\) |
| \(1\) | \(0{,}35\) | \(0{,}40\) |
| \(2\) | \(0{,}15\) | \(0{,}20\) |
| \(3\) | \(0{,}05\) | \(0{,}10\) |
Si se quiere reducir la probabilidad de muchos retrasos, podemos comparar \(P(R\geq 2)\).
Para el Recorrido A:
\[ P_A(R\geq 2)=P_A(R=2)+P_A(R=3)=0{,}15+0{,}05=0{,}20 \]
Para el Recorrido B:
\[ P_B(R\geq 2)=P_B(R=2)+P_B(R=3)=0{,}20+0{,}10=0{,}30 \]
Como \(0{,}20<0{,}30\), el Recorrido A tiene menor probabilidad de presentar dos o más retrasos en una semana.
Por lo tanto, si el criterio principal es disminuir la probabilidad de muchos retrasos, conviene elegir el Recorrido A.
Ejemplo 3: una decisión depende del criterio
Dos métodos de estudio tienen la siguiente distribución para la variable \(P\), que representa el puntaje obtenido en una actividad de \(0\) a \(3\).
| \(p\) | Método A | Método B |
|---|---|---|
| \(0\) | \(0{,}05\) | \(0{,}15\) |
| \(1\) | \(0{,}25\) | \(0{,}15\) |
| \(2\) | \(0{,}50\) | \(0{,}30\) |
| \(3\) | \(0{,}20\) | \(0{,}40\) |
Si el criterio es obtener el puntaje máximo, comparamos \(P(P=3)\):
\[ P_A(P=3)=0{,}20,\qquad P_B(P=3)=0{,}40 \]
Según ese criterio, conviene el Método B.
Pero si el criterio es obtener al menos \(2\) puntos, comparamos \(P(P\geq 2)\):
\[ P_A(P\geq 2)=0{,}50+0{,}20=0{,}70 \]
\[ P_B(P\geq 2)=0{,}30+0{,}40=0{,}70 \]
Según este segundo criterio, ambos métodos tienen la misma probabilidad de obtener \(2\) o más puntos.
Por eso, antes de decidir, es necesario aclarar qué se quiere favorecer.
Error frecuente
No siempre la alternativa con mayor probabilidad en un valor específico es mejor en todo sentido.
Una decisión debe relacionarse con un criterio claro. Por ejemplo, “tener puntaje máximo” no es lo mismo que “tener puntaje \(2\) o superior”.
Decisiones justificadas
Una decisión basada en probabilidades debe incluir una comparación explícita.
No basta decir “conviene A”. Es mejor escribir: “Conviene A si el objetivo es reducir la probabilidad de dos o más retrasos, porque \(P_A(R\geq 2)=0{,}20\) y \(P_B(R\geq 2)=0{,}30\)”.
Ejercicio 1
Dos plataformas tienen la siguiente distribución para la variable \(C\), donde \(C=1\) significa “completa la actividad” y \(C=0\) significa “no completa la actividad”.
| \(c\) | Plataforma A | Plataforma B |
|---|---|---|
| \(0\) | \(0{,}30\) | \(0{,}20\) |
| \(1\) | \(0{,}70\) | \(0{,}80\) |
a) ¿En cuál plataforma es más probable completar la actividad?
b) Si el objetivo es aumentar la probabilidad de completar la actividad, ¿cuál conviene elegir?
c) Explica por qué la decisión no garantiza el resultado.
a) Comparamos la probabilidad de \(C=1\):
\[ P_A(C=1)=0{,}70 \]
\[ P_B(C=1)=0{,}80 \]
Es más probable completar la actividad en la Plataforma B.
b) Conviene elegir la Plataforma B si el objetivo es aumentar la probabilidad de completar la actividad, porque \(0{,}80>0{,}70\).
c) La decisión no garantiza el resultado porque \(P_B(C=1)=0{,}80\), no \(1\). Todavía existe una probabilidad de \(0{,}20\) de no completar la actividad.
Ejercicio 2
Dos recorridos tienen la siguiente distribución para el número de retrasos semanales \(R\):
| \(r\) | Recorrido A | Recorrido B |
|---|---|---|
| \(0\) | \(0{,}50\) | \(0{,}35\) |
| \(1\) | \(0{,}30\) | \(0{,}40\) |
| \(2\) | \(0{,}15\) | \(0{,}15\) |
| \(3\) | \(0{,}05\) | \(0{,}10\) |
a) Calcula la probabilidad de tener dos o más retrasos en cada recorrido.
b) ¿Cuál recorrido conviene si se quiere disminuir la probabilidad de muchos retrasos?
a) Dos o más retrasos corresponde a \(R\geq 2\).
Recorrido A:
\[ P_A(R\geq 2)=P_A(R=2)+P_A(R=3)=0{,}15+0{,}05=0{,}20 \]
Recorrido B:
\[ P_B(R\geq 2)=P_B(R=2)+P_B(R=3)=0{,}15+0{,}10=0{,}25 \]
b) Conviene el Recorrido A, porque tiene menor probabilidad de presentar dos o más retrasos:
\[ 0{,}20<0{,}25 \]
Ejercicio 3
Un estudiante debe elegir entre dos métodos de estudio. La variable \(P\) representa el puntaje obtenido en una actividad de \(0\) a \(3\).
| \(p\) | Método A | Método B |
|---|---|---|
| \(0\) | \(0{,}10\) | \(0{,}05\) |
| \(1\) | \(0{,}20\) | \(0{,}25\) |
| \(2\) | \(0{,}45\) | \(0{,}30\) |
| \(3\) | \(0{,}25\) | \(0{,}40\) |
a) ¿Cuál método tiene mayor probabilidad de obtener puntaje máximo?
b) ¿Cuál método tiene mayor probabilidad de obtener \(2\) o más puntos?
c) Escribe una decisión justificada si el objetivo es obtener al menos \(2\) puntos.
a) Puntaje máximo corresponde a \(P=3\).
\[ P_A(P=3)=0{,}25 \]
\[ P_B(P=3)=0{,}40 \]
El Método B tiene mayor probabilidad de obtener puntaje máximo.
b) Obtener \(2\) o más puntos corresponde a \(P\geq 2\).
Método A:
\[ P_A(P\geq 2)=0{,}45+0{,}25=0{,}70 \]
Método B:
\[ P_B(P\geq 2)=0{,}30+0{,}40=0{,}70 \]
Ambos métodos tienen la misma probabilidad de obtener \(2\) o más puntos.
c) Si el objetivo es obtener al menos \(2\) puntos, ambos métodos son equivalentes según este criterio, porque en ambos casos la probabilidad es \(0{,}70\).
Ejercicio 4
Observa las distribuciones de dos alternativas para una variable \(X\), donde valores más altos representan mejores resultados.
Alternativa A:
Alternativa B:
a) Calcula \(P_A(X\geq 2)\).
b) Calcula \(P_B(X\geq 2)\).
c) ¿Cuál alternativa conviene si se quiere aumentar la probabilidad de obtener un resultado \(2\) o \(3\)?
Del gráfico de la Alternativa A:
\[ P_A(X=0)=0{,}10,\quad P_A(X=1)=0{,}20,\quad P_A(X=2)=0{,}40,\quad P_A(X=3)=0{,}30 \]
Del gráfico de la Alternativa B:
\[ P_B(X=0)=0{,}25,\quad P_B(X=1)=0{,}25,\quad P_B(X=2)=0{,}25,\quad P_B(X=3)=0{,}25 \]
a)
\[ P_A(X\geq 2)=P_A(X=2)+P_A(X=3)=0{,}40+0{,}30=0{,}70 \]
b)
\[ P_B(X\geq 2)=P_B(X=2)+P_B(X=3)=0{,}25+0{,}25=0{,}50 \]
c) Conviene la Alternativa A, porque:
\[ 0{,}70>0{,}50 \]
Ejercicio 5
Una aplicación muestra recomendaciones de estudio. La variable \(M\) se define así:
\[ M=1 \text{ si la recomendación es de matemática} \]
\[ M=0 \text{ si la recomendación no es de matemática} \]
| \(m\) | Aplicación A | Aplicación B |
|---|---|---|
| \(0\) | \(0{,}55\) | \(0{,}30\) |
| \(1\) | \(0{,}45\) | \(0{,}70\) |
a) Si el objetivo es recibir más recomendaciones de matemática, ¿qué aplicación conviene?
b) ¿Qué probabilidad de no recibir una recomendación de matemática tiene esa aplicación?
c) Escribe una conclusión cuidadosa.
a) Recibir una recomendación de matemática corresponde a \(M=1\).
\[ P_A(M=1)=0{,}45 \]
\[ P_B(M=1)=0{,}70 \]
Conviene la Aplicación B si el objetivo es recibir más recomendaciones de matemática.
b) En la Aplicación B, la probabilidad de no recibir una recomendación de matemática es:
\[ P_B(M=0)=0{,}30 \]
c) Una conclusión cuidadosa es: según la tabla, la Aplicación B tiene mayor probabilidad de mostrar recomendaciones de matemática, con \(P_B(M=1)=0{,}70\), pero no garantiza que todas sus recomendaciones sean de matemática.
Ejercicio 6
Dos talleres escolares tienen la siguiente distribución para la variable \(S\), donde \(S=1\) significa “satisfacción baja”, \(S=2\) “satisfacción media” y \(S=3\) “satisfacción alta”.
| \(s\) | Taller A | Taller B |
|---|---|---|
| \(1\) | \(0{,}15\) | \(0{,}30\) |
| \(2\) | \(0{,}55\) | \(0{,}25\) |
| \(3\) | \(0{,}30\) | \(0{,}45\) |
a) ¿Cuál taller tiene mayor probabilidad de satisfacción alta?
b) ¿Cuál taller tiene mayor probabilidad de satisfacción media o alta?
c) Explica por qué la decisión puede depender del criterio elegido.
a) Satisfacción alta corresponde a \(S=3\).
\[ P_A(S=3)=0{,}30 \]
\[ P_B(S=3)=0{,}45 \]
El Taller B tiene mayor probabilidad de satisfacción alta.
b) Satisfacción media o alta corresponde a \(S\geq 2\).
Taller A:
\[ P_A(S\geq 2)=P_A(S=2)+P_A(S=3)=0{,}55+0{,}30=0{,}85 \]
Taller B:
\[ P_B(S\geq 2)=P_B(S=2)+P_B(S=3)=0{,}25+0{,}45=0{,}70 \]
El Taller A tiene mayor probabilidad de satisfacción media o alta.
c) La decisión depende del criterio. Si solo importa maximizar la satisfacción alta, conviene el Taller B. Si se considera suficiente la satisfacción media o alta, conviene el Taller A.
Ejercicio 7
Una persona debe elegir entre dos horarios para estudiar. La variable \(E\) representa el nivel de concentración:
\[ E=1 \text{ baja},\quad E=2 \text{ media},\quad E=3 \text{ alta} \]
| \(e\) | Mañana | Tarde |
|---|---|---|
| \(1\) | \(0{,}20\) | \(0{,}10\) |
| \(2\) | \(0{,}30\) | \(0{,}50\) |
| \(3\) | \(0{,}50\) | \(0{,}40\) |
a) ¿En qué horario es más probable alcanzar concentración alta?
b) ¿En qué horario es menos probable tener concentración baja?
c) Si el objetivo principal es concentración alta, ¿qué horario conviene?
a) Concentración alta corresponde a \(E=3\).
\[ P_{\text{mañana}}(E=3)=0{,}50 \]
\[ P_{\text{tarde}}(E=3)=0{,}40 \]
Es más probable alcanzar concentración alta en la mañana.
b) Concentración baja corresponde a \(E=1\).
\[ P_{\text{mañana}}(E=1)=0{,}20 \]
\[ P_{\text{tarde}}(E=1)=0{,}10 \]
Es menos probable tener concentración baja en la tarde.
c) Si el objetivo principal es concentración alta, conviene estudiar en la mañana, porque \(0{,}50>0{,}40\).
Ejercicio 8
Observa las distribuciones de dos opciones. La variable \(R\) representa el número de respuestas correctas en una práctica breve.
Opción A:
Opción B:
a) ¿Cuál opción tiene mayor probabilidad de obtener \(3\) respuestas correctas?
b) ¿Cuál opción tiene mayor probabilidad de obtener al menos \(2\) respuestas correctas?
c) Escribe una decisión justificada para alguien que busca asegurar al menos \(2\) respuestas correctas.
Del gráfico:
Opción A:
\[ P_A(R=0)=0{,}05,\quad P_A(R=1)=0{,}15,\quad P_A(R=2)=0{,}30,\quad P_A(R=3)=0{,}50 \]
Opción B:
\[ P_B(R=0)=0,\quad P_B(R=1)=0{,}30,\quad P_B(R=2)=0{,}50,\quad P_B(R=3)=0{,}20 \]
a) La Opción A tiene mayor probabilidad de obtener \(3\) respuestas correctas:
\[ 0{,}50>0{,}20 \]
b) Al menos \(2\) respuestas correctas corresponde a \(R\geq 2\).
\[ P_A(R\geq 2)=0{,}30+0{,}50=0{,}80 \]
\[ P_B(R\geq 2)=0{,}50+0{,}20=0{,}70 \]
La Opción A también tiene mayor probabilidad de obtener al menos \(2\) respuestas correctas.
c) Si se busca asegurar al menos \(2\) respuestas correctas, conviene la Opción A, porque \(P_A(R\geq 2)=0{,}80\), mayor que \(P_B(R\geq 2)=0{,}70\).
Ejercicio 9
Una familia compara dos opciones de transporte para llegar a tiempo. Se define:
\[ T=1 \text{ si llega a tiempo} \]
\[ T=0 \text{ si no llega a tiempo} \]
| \(t\) | Opción A | Opción B |
|---|---|---|
| \(0\) | \(0{,}18\) | \(0{,}08\) |
| \(1\) | \(0{,}82\) | \(0{,}92\) |
a) ¿Cuál opción tiene mayor probabilidad de llegar a tiempo?
b) ¿Cuál opción tiene menor probabilidad de no llegar a tiempo?
c) ¿La opción elegida garantiza llegar a tiempo?
a) Llegar a tiempo corresponde a \(T=1\).
\[ P_A(T=1)=0{,}82 \]
\[ P_B(T=1)=0{,}92 \]
La Opción B tiene mayor probabilidad de llegar a tiempo.
b) No llegar a tiempo corresponde a \(T=0\).
\[ P_A(T=0)=0{,}18 \]
\[ P_B(T=0)=0{,}08 \]
La Opción B tiene menor probabilidad de no llegar a tiempo.
c) No garantiza llegar a tiempo, porque \(P_B(T=1)=0{,}92\), no \(1\). Todavía existe una probabilidad de \(0{,}08\) de no llegar a tiempo.
Ejercicio 10
Un estudiante dice:
“Siempre conviene elegir la alternativa que tiene la barra más alta en el gráfico”.
Explica por qué esta afirmación puede ser incorrecta.
La afirmación puede ser incorrecta porque primero se debe saber qué representa la barra más alta.
Por ejemplo, si la barra más alta corresponde a un resultado desfavorable, como “tener más retrasos” o “no completar una actividad”, entonces no conviene elegir esa alternativa.
Además, una decisión puede depender de un evento formado por varios valores. Por ejemplo, puede interesar \(X\geq 2\), no solo el valor individual más probable.
Una forma correcta de decidir es definir el criterio, calcular la probabilidad del evento favorable y comparar alternativas.
Ejercicio 11
Dos cursos comparan estrategias para preparar una prueba. La variable \(N\) representa el número de ejercicios correctos en una práctica de \(0\) a \(4\).
| \(n\) | Estrategia A | Estrategia B |
|---|---|---|
| \(0\) | \(0{,}05\) | \(0{,}10\) |
| \(1\) | \(0{,}10\) | \(0{,}15\) |
| \(2\) | \(0{,}25\) | \(0{,}20\) |
| \(3\) | \(0{,}35\) | \(0{,}25\) |
| \(4\) | \(0{,}25\) | \(0{,}30\) |
a) ¿Cuál estrategia tiene mayor probabilidad de obtener \(4\) ejercicios correctos?
b) ¿Cuál estrategia tiene mayor probabilidad de obtener \(3\) o más ejercicios correctos?
c) Si el objetivo es alcanzar un desempeño alto, entendido como \(3\) o \(4\) ejercicios correctos, ¿qué estrategia conviene?
a) Obtener \(4\) ejercicios correctos corresponde a \(N=4\).
\[ P_A(N=4)=0{,}25 \]
\[ P_B(N=4)=0{,}30 \]
La Estrategia B tiene mayor probabilidad de obtener \(4\) ejercicios correctos.
b) Obtener \(3\) o más ejercicios correctos corresponde a \(N\geq 3\).
\[ P_A(N\geq 3)=P_A(N=3)+P_A(N=4)=0{,}35+0{,}25=0{,}60 \]
\[ P_B(N\geq 3)=P_B(N=3)+P_B(N=4)=0{,}25+0{,}30=0{,}55 \]
La Estrategia A tiene mayor probabilidad de obtener \(3\) o más ejercicios correctos.
c) Si el objetivo es alcanzar un desempeño alto entendido como \(3\) o \(4\) ejercicios correctos, conviene la Estrategia A, porque \(0{,}60>0{,}55\).
Ejercicio 12
Un titular dice:
“La Estrategia B es mejor porque tiene mayor probabilidad de obtener el puntaje máximo”.
Usa la distribución del ejercicio anterior para analizar si la conclusión está completamente justificada.
La afirmación tiene una parte correcta: la Estrategia B tiene mayor probabilidad de obtener el puntaje máximo, porque:
\[ P_A(N=4)=0{,}25,\qquad P_B(N=4)=0{,}30 \]
y \(0{,}30>0{,}25\).
Sin embargo, la conclusión “es mejor” no queda completamente justificada si no se indica el criterio.
Si el criterio es obtener exactamente \(4\) ejercicios correctos, entonces la Estrategia B es más conveniente.
Pero si el criterio es obtener \(3\) o más ejercicios correctos, entonces:
\[ P_A(N\geq 3)=0{,}60 \]
\[ P_B(N\geq 3)=0{,}55 \]
y convendría la Estrategia A.
Una conclusión más cuidadosa sería: “La Estrategia B tiene mayor probabilidad de obtener el puntaje máximo, pero la Estrategia A tiene mayor probabilidad de obtener \(3\) o más ejercicios correctos”.
Para continuar
En la próxima página se analizará cómo una misma probabilidad puede dar lugar a interpretaciones distintas según el punto de vista, el contexto y el criterio usado.