Libro de variables aleatorias y probabilidad social

a) El espacio muestral es:

\[ S=\{(\text{cara},\text{cara}),(\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{cara}),(\text{sello},\text{sello})\} \]

b) La variable \(X\) puede tomar los valores:

\[ X\in\{0,1,2\} \]

c) Asignamos el número de caras a cada resultado:

La distribución de probabilidad es:

d) Verificamos la suma:

\[ \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1 \]

Como todas las probabilidades están entre \(0\) y \(1\), y suman \(1\), la distribución es válida.

El espacio muestral del dado es:

\[ S=\{1,2,3,4,5,6\} \]

a) Los múltiplos de \(3\) son \(3\) y \(6\), entonces:

\[ Y=1 \text{ en } \{3,6\} \]

b) Los resultados que no son múltiplos de \(3\) son:

\[ \{1,2,4,5\} \]

Por lo tanto, esos resultados producen \(Y=0\).

c) Calculamos las probabilidades:

\[ P(Y=1)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]

\[ P(Y=0)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \]

La distribución es válida porque:

\[ \frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1 \]

a) Los valores posibles son:

\[ M\in\{0,1,2,3,4\} \]

b) Contamos cuántas veces aparece cada valor:

\[ 0:\,3,\quad 1:\,4,\quad 2:\,3,\quad 3:\,1,\quad 4:\,1 \]

c) El valor más probable es \(M=1\), porque:

\[ P(M=1)=\frac{1}{3} \]

es la mayor probabilidad de la tabla.

d) Calculamos:

\[ P(M\geq 2)=P(M=2)+P(M=3)+P(M=4) \]

\[ P(M\geq 2)=\frac{3}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{5}{12} \]

a) Desde el gráfico se obtiene:

b) El valor más probable es \(X=2\), porque tiene la mayor probabilidad:

\[ P(X=2)=0{,}40 \]

c)

\[ P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1) \]

\[ P(X\leq 1)=0{,}10+0{,}25=0{,}35 \]

d)

\[ P(X\geq 2)=P(X=2)+P(X=3) \]

\[ P(X\geq 2)=0{,}40+0{,}25=0{,}65 \]

e) Verificamos la suma:

\[ 0{,}10+0{,}25+0{,}40+0{,}25=1 \]

Como todas las probabilidades están entre \(0\) y \(1\), y suman \(1\), el gráfico representa una distribución válida.

a) El Curso B tiene distribución uniforme, porque todos los puntajes tienen probabilidad \(0{,}25\).

b) Puntaje \(2\) o \(3\) corresponde a \(P\geq 2\).

Curso A:

\[ P_A(P\geq 2)=P_A(P=2)+P_A(P=3)=0{,}45+0{,}25=0{,}70 \]

Curso B:

\[ P_B(P\geq 2)=P_B(P=2)+P_B(P=3)=0{,}25+0{,}25=0{,}50 \]

c) Es más probable obtener puntaje alto en el Curso A, porque:

\[ 0{,}70>0{,}50 \]

d) Una conclusión contextual es:

“Según estas distribuciones, el Curso A tiene mayor probabilidad de obtener puntajes altos en la actividad, si se consideran altos los puntajes \(2\) y \(3\)”.

a) Para que sea una distribución válida, las probabilidades deben sumar \(1\):

\[ 0{,}20+0{,}35+p+0{,}15=1 \]

Sumamos las probabilidades conocidas:

\[ 0{,}20+0{,}35+0{,}15=0{,}70 \]

Entonces:

\[ 0{,}70+p=1 \]

\[ p=0{,}30 \]

b) La distribución queda:

El valor más probable es \(X=1\), porque tiene la mayor probabilidad:

\[ P(X=1)=0{,}35 \]

c)

\[ P(X\geq 2)=P(X=2)+P(X=3) \]

\[ P(X\geq 2)=0{,}30+0{,}15=0{,}45 \]

a) Convertimos \(58\%\) a probabilidad decimal:

\[ 58\%=0{,}58 \]

b) Si solo hay dos opciones, entonces:

\[ P(\text{no prefiere videos})=1-0{,}58=0{,}42 \]

c) La afirmación “todos los estudiantes prefieren estudiar con videos” no está justificada, porque \(0{,}58\neq 1\).

d) Una interpretación cuidadosa es:

“Según la encuesta, la probabilidad de elegir un estudiante que prefiere estudiar con videos es \(0{,}58\), es decir, \(58\%\). Es más probable que prefiera videos a que no los prefiera, pero no se puede afirmar que todos los estudiantes los prefieren”.

a) Está respaldado afirmar que, dentro de los \(30\) estudiantes encuestados de ese curso, el \(70\%\) declaró usar redes sociales como medio principal para informarse.

b) No está completamente justificado extender directamente esa conclusión a todos los estudiantes del país, porque la información proviene de un curso específico. Para hacer una afirmación nacional, habría que justificar que la muestra representa adecuadamente a ese grupo más amplio.

c) Una conclusión más cuidadosa sería:

“En la encuesta realizada a \(30\) estudiantes de un curso, el \(70\%\) declaró usar redes sociales como medio principal para informarse. Este resultado describe a ese grupo encuestado, pero no permite concluir por sí solo que ocurra lo mismo en todos los estudiantes del país”.

a) No tener retrasos corresponde a \(R=0\).

\[ P_A(R=0)=0{,}55 \]

\[ P_B(R=0)=0{,}35 \]

Es más probable no tener retrasos en el Recorrido A.

b) Dos o más retrasos corresponde a \(R\geq 2\).

Recorrido A:

\[ P_A(R\geq 2)=0{,}15+0{,}05=0{,}20 \]

Recorrido B:

\[ P_B(R\geq 2)=0{,}20+0{,}05=0{,}25 \]

c) Conviene el Recorrido A si el objetivo es reducir la probabilidad de muchos retrasos, porque:

\[ 0{,}20<0{,}25 \]

d) No lo garantiza. Aunque el Recorrido A tiene mayor probabilidad de no presentar retrasos, \(P_A(R=0)=0{,}55\), esta probabilidad no es \(1\). Todavía pueden ocurrir retrasos.

Del gráfico se lee:

Método A:

\[ P_A(N=0)=0{,}05,\quad P_A(N=1)=0{,}10,\quad P_A(N=2)=0{,}25,\quad P_A(N=3)=0{,}35,\quad P_A(N=4)=0{,}25 \]

Método B:

\[ P_B(N=0)=0{,}10,\quad P_B(N=1)=0{,}15,\quad P_B(N=2)=0{,}20,\quad P_B(N=3)=0{,}25,\quad P_B(N=4)=0{,}30 \]

a) Obtener \(4\) respuestas correctas corresponde a \(N=4\).

\[ P_A(N=4)=0{,}25 \]

\[ P_B(N=4)=0{,}30 \]

El Método B tiene mayor probabilidad de obtener \(4\) respuestas correctas.

b) Obtener \(3\) o más respuestas correctas corresponde a \(N\geq 3\).

Método A:

\[ P_A(N\geq 3)=0{,}35+0{,}25=0{,}60 \]

Método B:

\[ P_B(N\geq 3)=0{,}25+0{,}30=0{,}55 \]

c) Si el criterio es obtener el puntaje máximo, conviene el Método B, porque \(0{,}30>0{,}25\).

d) Si el criterio es obtener desempeño alto, entendido como \(3\) o \(4\) respuestas correctas, conviene el Método A, porque \(0{,}60>0{,}55\).

a) La probabilidad de no completar es el complemento:

\[ P(\text{no completar})=1-0{,}72=0{,}28 \]

b) Una interpretación centrada en el logro es:

“Completar la actividad es más probable que no completarla, porque su probabilidad es \(0{,}72\), es decir, \(72\%\)”.

c) Una interpretación centrada en el riesgo es:

“Aunque completar la actividad es probable, todavía existe una probabilidad de \(0{,}28\), es decir, \(28\%\), de no completarla”.

d) La afirmación es incorrecta. Para que completar la actividad fuera seguro, la probabilidad tendría que ser \(1\). Como \(0{,}72<1\), completar es probable, pero no seguro.

a) Verificamos la suma de probabilidades:

\[ 0{,}20+0{,}10+0{,}45+0{,}25=1 \]

Como todas las probabilidades están entre \(0\) y \(1\), y suman \(1\), la tabla representa una distribución válida.

b) El medio individual más probable es redes sociales, porque tiene la mayor probabilidad:

\[ 0{,}45 \]

c) Los medios digitales considerados son redes sociales y sitios web de noticias:

\[ P(\text{medio digital})=0{,}45+0{,}25=0{,}70 \]

d) La afirmación es exagerada. Es correcto decir que redes sociales es el medio individual con mayor probabilidad, pero no es correcto afirmar que sea el único medio importante.

Los otros medios también tienen probabilidad asociada. En conjunto suman:

\[ 0{,}20+0{,}10+0{,}25=0{,}55 \]

Una conclusión más cuidadosa sería:

“Según la encuesta, redes sociales es el medio individual más probable, con probabilidad \(0{,}45\). Además, los medios digitales en conjunto alcanzan una probabilidad de \(0{,}70\), considerando redes sociales y sitios web de noticias”.