Libro de la esfera y sus elementos
6. Conjeturando el volumen de la esfera (cc2)
Objetivos de la página
- Relacionar el volumen de una esfera con el volumen de un cilindro que la contiene.
- Conjeturar la fórmula \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\) para el volumen de una esfera.
- Interpretar el radio, el diámetro y la altura del cilindro en representaciones geométricas.
- Distinguir entre área superficial y volumen en una esfera.
¿Qué mide el volumen?
El volumen mide el espacio que ocupa un cuerpo geométrico.
En una esfera, el volumen corresponde al espacio interior que ocupa, como el aire dentro de un balón o el material de una bolita sólida.
Por eso, el volumen se expresa en unidades cúbicas, por ejemplo:
\[ \text{cm}^3,\quad \text{m}^3,\quad \text{mm}^3 \]
No confundir área con volumen
El área superficial mide la parte exterior de la esfera.
El volumen mide el espacio que ocupa por dentro.
| Pregunta | Magnitud |
|---|---|
| ¿Cuánta tela cubre una pelota? | Área superficial |
| ¿Cuánto aire contiene un balón? | Volumen |
| ¿Cuánta pintura cubre una esfera? | Área superficial |
| ¿Cuánto espacio ocupa una esfera sólida? | Volumen |
Esfera inscrita en un cilindro
Para conjeturar el volumen de una esfera, la compararemos con un cilindro que la contiene exactamente.
Si la esfera tiene radio \(r\), entonces el cilindro que la contiene tiene:
- radio \(r\),
- altura \(2r\), porque la altura coincide con el diámetro de la esfera.
La idea clave es comparar el volumen de la esfera con el volumen de este cilindro.
Volumen del cilindro que contiene a la esfera
Recordemos que el volumen de un cilindro se calcula mediante:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2 h \]
En el cilindro que contiene exactamente a una esfera de radio \(r\), la altura es:
\[ h=2r \]
Entonces:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2(2r) \]
\[ V_{\text{cilindro}}=2\pi r^3 \]
Conjetura
Al comparar una esfera con el cilindro que la contiene, se observa que la esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) del volumen del cilindro.
Por lo tanto:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot V_{\text{cilindro}} \]
Desarrollo de la fórmula del volumen de la esfera
Como el volumen del cilindro que contiene a la esfera es:
\[ V_{\text{cilindro}}=2\pi r^3 \]
Y la esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) de ese volumen:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 2\pi r^3 \]
Multiplicamos los factores numéricos:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Así, la fórmula del volumen de una esfera de radio \(r\) es:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
¿Por qué aparece \(r^3\)?
En el área superficial de una esfera aparece \(r^2\), porque el área mide superficie.
En el volumen aparece \(r^3\), porque el volumen mide espacio tridimensional.
Por eso, al calcular volumen, el radio se eleva al cubo:
\[ r^3=r\cdot r\cdot r \]
Ejemplo 1: desarrollar la fórmula con un radio conocido
Una esfera tiene radio \(3\ \text{cm}\). Primero comparemos su volumen con el cilindro que la contiene.
El cilindro tiene radio \(3\ \text{cm}\) y altura \(2r=6\ \text{cm}\).
Su volumen es:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 3^2\cdot 6 \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 9\cdot 6=54\pi \]
La esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) del volumen del cilindro:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 54\pi \]
\[ V_{\text{esfera}}=36\pi \]
Por lo tanto, el volumen de la esfera es \(36\pi\ \text{cm}^3\).
Ejemplo 2: usar directamente la fórmula
Calcula el volumen de una esfera de radio \(3\ \text{cm}\).
Usamos la fórmula:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Reemplazamos \(r=3\):
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 3^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 27 \]
\[ V=36\pi \]
Se obtiene el mismo resultado que al comparar con el cilindro:
\[ V=36\pi\ \text{cm}^3 \]
Ejemplo 3: interpretar la altura del cilindro
Una esfera está inscrita en un cilindro. La altura del cilindro es \(20\ \text{cm}\). ¿Cuál es el radio de la esfera?
Cuando una esfera está inscrita en un cilindro, la altura del cilindro coincide con el diámetro de la esfera.
Por lo tanto:
\[ d=20\ \text{cm} \]
El radio es la mitad del diámetro:
\[ r=\frac{20}{2}=10 \]
Entonces, el radio de la esfera es \(10\ \text{cm}\).
Ejercicio 1
Una esfera de radio \(4\ \text{cm}\) está inscrita en un cilindro.
a) ¿Cuál es la altura del cilindro?
b) Calcula el volumen del cilindro.
c) Calcula el volumen de la esfera usando que ocupa \(\frac{2}{3}\) del cilindro.
Si la esfera tiene radio \(4\ \text{cm}\), entonces su diámetro es:
\[ d=2r=2\cdot 4=8 \]
Como la esfera está inscrita en el cilindro, la altura del cilindro es:
\[ h=8\ \text{cm} \]
El volumen del cilindro es:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 4^2\cdot 8 \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 16\cdot 8=128\pi \]
La esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) de ese volumen:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 128\pi \]
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{256}{3}\pi \]
Por lo tanto, el volumen de la esfera es \(\frac{256}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 2
Una esfera está inscrita en un cilindro de radio \(5\ \text{m}\) y altura \(10\ \text{m}\).
a) ¿Cuál es el radio de la esfera?
b) Calcula el volumen de la esfera.
Como la esfera está inscrita en el cilindro, el radio del cilindro coincide con el radio de la esfera:
\[ r=5\ \text{m} \]
Usamos la fórmula del volumen de la esfera:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 5^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 125 \]
\[ V=\frac{500}{3}\pi \]
El volumen de la esfera es \(\frac{500}{3}\pi\ \text{m}^3\).
Ejercicio 3
Observa la representación. La altura del cilindro que contiene a la esfera es \(12\ \text{cm}\).
a) ¿Qué representa la altura del cilindro en relación con la esfera?
b) ¿Cuál es el radio de la esfera?
c) Calcula el volumen de la esfera.
La altura del cilindro coincide con el diámetro de la esfera.
Entonces:
\[ d=12\ \text{cm} \]
El radio es la mitad del diámetro:
\[ r=\frac{12}{2}=6 \]
Calculamos el volumen:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 6^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 216 \]
\[ V=288\pi \]
El volumen de la esfera es \(288\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 4
Una esfera tiene radio \(6\ \text{cm}\).
a) Calcula el volumen del cilindro que la contiene.
b) Calcula el volumen de la esfera como \(\frac{2}{3}\) del volumen del cilindro.
c) Verifica el resultado usando \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\).
Si la esfera tiene radio \(6\ \text{cm}\), el cilindro que la contiene tiene radio \(6\ \text{cm}\) y altura:
\[ h=2r=12\ \text{cm} \]
El volumen del cilindro es:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 6^2\cdot 12 \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 36\cdot 12=432\pi \]
La esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) de ese volumen:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 432\pi=288\pi \]
Ahora verificamos con la fórmula directa:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 6^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 216=288\pi \]
Ambos procedimientos entregan \(288\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 5
Una estudiante afirma: “Como el volumen del cilindro que contiene a una esfera es \(2\pi r^3\), entonces el volumen de la esfera también es \(2\pi r^3\)”.
¿La afirmación es correcta? Justifica.
La afirmación no es correcta.
El volumen \(2\pi r^3\) corresponde al cilindro que contiene a la esfera, no a la esfera.
La esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) del volumen de ese cilindro:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot V_{\text{cilindro}} \]
Como:
\[ V_{\text{cilindro}}=2\pi r^3 \]
Entonces:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 2\pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Por lo tanto, el volumen de la esfera es \(\frac{4}{3}\pi r^3\), no \(2\pi r^3\).
Ejercicio 6
Una esfera está inscrita en un cilindro cuyo volumen es \(300\pi\ \text{cm}^3\).
Usando la relación entre la esfera y el cilindro, calcula el volumen de la esfera.
La esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) del volumen del cilindro que la contiene.
Entonces:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot V_{\text{cilindro}} \]
Como \(V_{\text{cilindro}}=300\pi\):
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 300\pi \]
\[ V_{\text{esfera}}=200\pi \]
El volumen de la esfera es \(200\pi\ \text{cm}^3\).
Para continuar
En la próxima página se practicará el cálculo del volumen de la esfera en ejercicios directos, visuales y contextualizados.