Libro de los Logaritmos
3. Casos fundamentales del logaritmo
Objetivos
- Reconocer casos básicos de logaritmos derivados directamente de la definición.
- Calcular logaritmos inmediatos en base general y en base decimal.
Idea clave
Los casos fundamentales se obtienen preguntando por exponentes conocidos: \(0\), \(1\) y \(-1\).
Casos fundamentales
Para \(a>0\) y \(a\neq 1\):
\[ \log_a(1)=0,\qquad \log_a(a)=1,\qquad \log_a\left(\frac{1}{a}\right)=-1. \]
En base decimal:
\[ \log(1)=0,\qquad \log(10)=1,\qquad \log\left(\frac{1}{10}\right)=-1. \]
Por qué funcionan
Funcionan porque \(a^0=1\), \(a^1=a\) y \(a^{-1}=\frac{1}{a}\).
Ejemplo 1: logaritmo de 1
\[ \log_7(1)=0 \]
porque \(7^0=1\).
Ejemplo 2: logaritmo de la base
\[ \log_3(3)=1 \]
porque \(3^1=3\).
Ejemplo 3: caso decimal
\[ \log\left(\frac{1}{100}\right)=-2 \]
porque \(\frac{1}{100}=10^{-2}\).
Ejercicio 1
Calcula:
- \(\log_2(1)\)
- \(\log_9(9)\)
- \(\log_4\left(\frac{1}{4}\right)\)
- \(\log_2(1)=0\), porque \(2^0=1\).
- \(\log_9(9)=1\), porque \(9^1=9\).
- \(\log_4\left(\frac{1}{4}\right)=-1\), porque \(4^{-1}=\frac{1}{4}\).
Ejercicio 2
Completa:
- \(\log(1)=\boxed{\phantom{00}}\)
- \(\log(10)=\boxed{\phantom{00}}\)
- \(\log(0.1)=\boxed{\phantom{00}}\)
- \(\log(1)=0\), porque \(10^0=1\).
- \(\log(10)=1\), porque \(10^1=10\).
- \(\log(0.1)=-1\), porque \(0.1=\frac{1}{10}=10^{-1}\).
Ejercicio 3
Indica si cada afirmación es verdadera o falsa:
- \(\log_a(a)=1\)
- \(\log_a(0)=0\)
- \(\log(100)=2\)
- Verdadera, porque \(a^1=a\).
- Falsa. \(\log_a(0)\) no existe en los reales porque el argumento debe ser positivo.
- Verdadera, porque \(\log(100)=\log_{10}(100)=2\).
Cuidado
Estos casos solo se aplican cuando se cumplen las condiciones de existencia: base positiva, base distinta de \(1\), y argumento positivo.