Logaritmos
1. Definición del Logaritmo
Objetivo de aprendizaje
Comprender qué es un logaritmo como operación inversa de la potenciación, identificando sus elementos y condiciones de existencia.
\[ \log_a(c)=b \iff a^b=c \]
Un logaritmo responde a la pregunta: ¿a qué exponente debo elevar la base para obtener el argumento?
- Base: \(a\)
- Argumento: \(c\)
- Valor del logaritmo: \(b\)
El logaritmo es la operación inversa de la potencia.
Si: \[ a^b=c \] entonces: \[ \log_a(c)=b \]
- La base debe ser positiva: \(a>0\)
- La base no puede ser 1: \(a\neq 1\)
- El argumento debe ser positivo: \(c>0\)
Ejemplo 1: interpretación del logaritmo
\[ \log_5(25)=2 \]
Esto significa que:
\[ 5^2=25 \]
Es decir, debemos elevar 5 al exponente 2 para obtener 25.
Ejemplo 2: otro caso
\[ \log_2(16)=4 \]
Porque:
\[ 2^4=16 \]
Ejercicio 1
Completa los siguientes logaritmos:
\(\log_3(9)=\_\_\_\_\)
\(\log_{10}(100)=\_\_\_\_\)
\(\log_2(8)=\_\_\_\_\)
\[ \log_3(9)=2 \quad \text{porque } 3^2=9 \]
\[ \log_{10}(100)=2 \quad \text{porque } 10^2=100 \]
\[ \log_2(8)=3 \quad \text{porque } 2^3=8 \]
Ejercicio 2
Determina el valor de \(x\):
\(\log_4(64)=x\)
\[ 4^x=64 \]
Como \(4^3=64\), entonces:
\[ x=3 \]
El logaritmo permite transformar una potencia en una pregunta sobre exponentes. Dominar esta relación es clave para todo el resto de la unidad.