Libro de los Logaritmos
1. Definición del logaritmo
Objetivos
- Comprender qué es un logaritmo como operación inversa de la potenciación.
- Identificar base, argumento y valor de un logaritmo.
- Reconocer la notación especial del logaritmo decimal.
- Aplicar las condiciones básicas de existencia de un logaritmo real.
Definición de logaritmo
Un logaritmo responde a la pregunta: ¿a qué exponente debo elevar la base para obtener el argumento?
\[ \log_a(c)=b \iff a^b=c \]
Elementos del logaritmo
- Base: \(a\)
- Argumento: \(c\)
- Valor del logaritmo: \(b\)
Notación especial: logaritmo decimal
Cuando la base es \(10\), muchas veces no se escribe la base:
\[ \log(100)=\log_{10}(100)=2 \]
En este libro, cuando aparezca \(\log(x)\) sin base escrita, se entenderá como \(\log_{10}(x)\), salvo que se indique otra base.
Idea clave
El logaritmo es la operación inversa de la potencia.
Si:
\[ a^b=c \]
entonces:
\[ \log_a(c)=b. \]
Condiciones de existencia
- La base debe ser positiva: \(a>0\).
- La base no puede ser \(1\): \(a\neq 1\).
- El argumento debe ser positivo: \(c>0\).
Ejemplo 1: interpretar un logaritmo
\[ \log_5(25)=2 \]
Esto significa que:
\[ 5^2=25. \]
Debemos elevar \(5\) al exponente \(2\) para obtener \(25\).
Ejemplo 2: logaritmo decimal
\[ \log(1000)=3 \]
Como no se escribe la base, se entiende base \(10\):
\[ \log(1000)=\log_{10}(1000)=3 \]
porque \(10^3=1000\).
Ejemplo 3: verificar existencia
\[ \log_2(8) \]
Existe porque la base \(2\) es positiva, distinta de \(1\), y el argumento \(8\) es positivo.
Además, \(\log_2(8)=3\), porque \(2^3=8\).
Ejercicio 1
Completa los siguientes logaritmos:
- \(\log_3(9)=\boxed{\phantom{00}}\)
- \(\log(100)=\boxed{\phantom{00}}\)
- \(\log_2(8)=\boxed{\phantom{00}}\)
- \(\log_3(9)=2\), porque \(3^2=9\).
- \(\log(100)=\log_{10}(100)=2\), porque \(10^2=100\).
- \(\log_2(8)=3\), porque \(2^3=8\).
Ejercicio 2
Determina el valor de \(x\):
\[ \log_4(64)=x \]
Usamos la definición:
\[ \log_4(64)=x \iff 4^x=64. \]
Como \(4^3=64\), entonces \(x=3\).
Ejercicio 3
Indica cuáles expresiones existen en los números reales:
- \(\log_3(27)\)
- \(\log_1(5)\)
- \(\log(-10)\)
- \(\log_3(27)\) existe, porque la base es positiva y distinta de \(1\), y el argumento es positivo.
- \(\log_1(5)\) no existe como logaritmo real, porque la base no puede ser \(1\).
- \(\log(-10)\) no existe en los reales, porque el argumento debe ser positivo.
Cierre
Un logaritmo transforma una potencia en una pregunta sobre exponentes. Desde ahora, \(\log(x)\) sin base escrita significará logaritmo decimal, es decir, base \(10\).