4. Propiedad del producto

Objetivos

  • Aplicar la propiedad del producto para transformar el logaritmo de una multiplicación en una suma.
  • Distinguir entre logaritmo de un producto y logaritmo de una suma.

Propiedad del producto

Si \(a>0\), \(a\neq 1\), \(b>0\) y \(c>0\), entonces:

\[ \log_a(bc)=\log_a(b)+\log_a(c). \]

En base decimal:

\[ \log(bc)=\log(b)+\log(c). \]

Qué significa

El logaritmo de un producto se puede separar como suma de logaritmos con la misma base.

Ejemplo 1: aplicación directa

\[ \log_2(4\cdot 8)=\log_2(4)+\log_2(8) \]

\[ =2+3=5. \]

Esto coincide con \(\log_2(32)=5\).

Ejemplo 2: forma literal

\[ \log_a(mn)=\log_a(m)+\log_a(n) \]

Esta igualdad exige \(m>0\) y \(n>0\).

Ejemplo 3: producto en base decimal

\[ \log(2\cdot 50)=\log(2)+\log(50) \]

Como \(2\cdot 50=100\), se tiene:

\[ \log(2)+\log(50)=\log(100)=2. \]

Ejercicio 1

Aplica la propiedad del producto y calcula:

  1. \(\log_2(2\cdot 8)\)
  2. \(\log_5(5\cdot 25)\)
  3. \(\log(10\cdot 100)\)

Ejercicio 2

Reescribe usando suma de logaritmos:

  1. \(\log_a(xy)\)
  2. \(\log_7(mn)\)
  3. \(\log(uv)\)

Ejercicio 3

Decide si la transformación es correcta o incorrecta:

  1. \(\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)\)
  2. \(\log_a(x+y)=\log_a(x)+\log_a(y)\)
  3. \(\log(2\cdot 5)=\log(2)+\log(5)\)

Error frecuente

No se debe confundir producto con suma:

\[ \log_a(x+y)\neq \log_a(x)+\log_a(y). \]