6. Propiedad de la potencia

Objetivos

  • Aplicar la propiedad de la potencia para extraer exponentes del argumento de un logaritmo.
  • Reconocer raíces como potencias de exponente fraccionario.

Propiedad de la potencia

Si \(a>0\), \(a\neq 1\), \(b>0\) y \(r\in\mathbb{R}\), entonces:

\[ \log_a(b^r)=r\log_a(b). \]

En base decimal:

\[ \log(b^r)=r\log(b). \]

Qué nos dice

Cuando el argumento está elevado a una potencia, el exponente puede pasar multiplicando fuera del logaritmo.

Ejemplo 1: potencia entera

\[ \log_2(4^3)=3\log_2(4)=3\cdot 2=6. \]

Ejemplo 2: caso decimal

\[ \log(10^5)=5\log(10)=5\cdot 1=5. \]

Ejemplo 3: potencia con variable

\[ \log_a(x^4)=4\log_a(x) \]

Esta igualdad requiere \(x>0\).

Ejercicio 1

Aplica la propiedad de la potencia y calcula:

  1. \(\log_2(4^3)\)
  2. \(\log_3(9^2)\)
  3. \(\log(100^2)\)

Ejercicio 2

Reescribe usando la propiedad de la potencia:

  1. \(\log_a(m^7)\)
  2. \(\log_4(x^3)\)
  3. \(\log(y^n)\)

Ejercicio 3

Decide si la igualdad es correcta:

  1. \(\log_a(x^2)=2\log_a(x)\)
  2. \(\log_a(2x)=2\log_a(x)\)
  3. \(\log(x^3)=3\log(x)\)

Cuidado

El exponente sale del logaritmo solo cuando afecta a todo el argumento: \(\log_a(x^r)=r\log_a(x)\).