Libro de los Logaritmos
7. Logaritmo de una raíz
Objetivos
- Relacionar el logaritmo de una raíz con la propiedad de la potencia.
- Reescribir raíces como potencias de exponente fraccionario para simplificar logaritmos.
Idea clave
Una raíz puede escribirse como una potencia con exponente fraccionario:
\[ \sqrt[n]{b}=b^{1/n}. \]
Propiedad para raíces
\[ \log_a(\sqrt[n]{b})=\log_a(b^{1/n})=\frac{1}{n}\log_a(b). \]
En base decimal:
\[ \log(\sqrt[n]{b})=\frac{1}{n}\log(b). \]
Ejemplo 1: raíz cuadrada
\[ \log_5(\sqrt{25})=\frac{1}{2}\log_5(25)=\frac{1}{2}\cdot 2=1. \]
Ejemplo 2: raíz cúbica
\[ \log_2(\sqrt[3]{8})=\frac{1}{3}\log_2(8)=\frac{1}{3}\cdot 3=1. \]
Ejemplo 3: raíz decimal
\[ \log(\sqrt{100})=\frac{1}{2}\log(100)=\frac{1}{2}\cdot 2=1. \]
Ejercicio 1
Escribe cada raíz como potencia y calcula:
- \(\log_5(\sqrt{25})\)
- \(\log_2(\sqrt[3]{8})\)
- \(\log(\sqrt{10000})\)
- \(\log_5(\sqrt{25})=\frac{1}{2}\log_5(25)=1\).
- \(\log_2(\sqrt[3]{8})=\frac{1}{3}\log_2(8)=1\).
- \(\log(\sqrt{10000})=\frac{1}{2}\log(10000)=2\).
Ejercicio 2
Reescribe usando un coeficiente delante del logaritmo:
- \(\log_a(\sqrt{x})\)
- \(\log_b(\sqrt[3]{m})\)
- \(\log(\sqrt[4]{y})\)
- \(\log_a(\sqrt{x})=\frac{1}{2}\log_a(x)\).
- \(\log_b(\sqrt[3]{m})=\frac{1}{3}\log_b(m)\).
- \(\log(\sqrt[4]{y})=\frac{1}{4}\log(y)\), en base decimal.
Ejercicio 3
Completa:
- \(\log_a(\sqrt[n]{x})=\boxed{\phantom{000000000}}\)
- \(\log(\sqrt{x})=\boxed{\phantom{000000000}}\)
- \(\log_a(\sqrt[n]{x})=\frac{1}{n}\log_a(x)\).
- \(\log(\sqrt{x})=\frac{1}{2}\log(x)\).
Cuidado
La propiedad se aplica a la raíz completa. Además, el argumento que queda dentro del logaritmo debe ser positivo.