Libro de los Logaritmos
9. Cambio de base
Objetivos
- Aplicar la propiedad de cambio de base para reescribir logaritmos en una base conveniente.
- Usar la notación \(\log(x)\) como logaritmo decimal al calcular o aproximar.
Idea clave
A veces un logaritmo está escrito en una base poco cómoda. El cambio de base permite reescribirlo en otra base equivalente.
Propiedad de cambio de base
Si \(a>0\), \(a\neq 1\), \(b>0\), \(c>0\) y \(c\neq 1\), entonces:
\[ \log_a(b)=\frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}. \]
Cambio a base decimal
Como \(\log(x)\) significa \(\log_{10}(x)\), podemos escribir:
\[ \log_a(b)=\frac{\log(b)}{\log(a)}. \]
Esta forma es útil cuando se usa calculadora.
Propiedad recíproca
\[ \log_a(b)=\frac{1}{\log_b(a)}. \]
Ejemplo 1: cambio a base decimal
\[ \log_2(8)=\frac{\log(8)}{\log(2)} \]
Como \(2^3=8\), el valor es \(3\). Por eso:
\[ \frac{\log(8)}{\log(2)}=3. \]
Ejemplo 2: forma para calculadora
\[ \log_4(7)=\frac{\log(7)}{\log(4)} \]
No se calcula mentalmente de forma exacta, pero queda expresado en logaritmos decimales.
Ejemplo 3: recíproca
Como \(\log_2(8)=3\), entonces:
\[ \log_8(2)=\frac{1}{3}. \]
Por lo tanto:
\[ \log_2(8)=\frac{1}{\log_8(2)}. \]
Ejercicio 1
Reescribe usando cambio a base decimal:
- \(\log_3(5)\)
- \(\log_7(2)\)
- \(\log_4(11)\)
- \(\log_3(5)=\frac{\log(5)}{\log(3)}\).
- \(\log_7(2)=\frac{\log(2)}{\log(7)}\).
- \(\log_4(11)=\frac{\log(11)}{\log(4)}\).
Ejercicio 2
Completa usando la propiedad recíproca:
- \(\log_2(5)=\frac{1}{\boxed{\phantom{000000}}}\)
- \(\log_3(9)=\frac{1}{\boxed{\phantom{000000}}}\)
- \(\log_2(5)=\frac{1}{\log_5(2)}\).
- \(\log_3(9)=\frac{1}{\log_9(3)}\).
Ejercicio 3
Calcula usando cambio de base o razonamiento directo:
- \(\log_2(8)\)
- \(\log_9(3)\)
- \(\log_5(25)\)
- \(\log_2(8)=3\), porque \(2^3=8\).
- \(\log_9(3)=\frac{1}{2}\), porque \(9^{1/2}=3\).
- \(\log_5(25)=2\), porque \(5^2=25\).
Cuidado
La nueva base también debe ser positiva y distinta de \(1\). Además, todos los argumentos deben ser positivos.