Libro de los Logaritmos
12. Cancelación entre potencia y logaritmo
Objetivos
- Reconocer la relación inversa entre potenciación y logaritmo.
- Aplicar cancelaciones válidas sin perder condiciones de existencia.
Idea clave
La potencia y el logaritmo se cancelan cuando trabajan con la misma base y se cumplen las condiciones de existencia.
Primera cancelación
\[ \log_a(a^x)=x. \]
Segunda cancelación
\[ a^{\log_a(x)}=x. \]
En base decimal:
\[ 10^{\log(x)}=x. \]
Ejemplo 1: cancelación directa
\[ \log_2(2^7)=7. \]
Ejemplo 2: cancelación en una potencia
\[ 5^{\log_5(12)}=12. \]
Ejemplo 3: caso decimal
\[ 10^{\log(40)}=40. \]
Esto funciona porque \(\log\) sin base es logaritmo decimal.
Ejemplo 4: cuando no hay cancelación directa
\[ \log_2(3^5) \]
No se cancela, porque la base del logaritmo es \(2\), pero la potencia tiene base \(3\).
Ejercicio 1
Simplifica:
- \(\log_2(2^7)\)
- \(\log_5(5^{-1})\)
- \(\log(10^4)\)
- \(\log_2(2^7)=7\).
- \(\log_5(5^{-1})=-1\).
- \(\log(10^4)=4\).
Ejercicio 2
Simplifica:
- \(2^{\log_2(9)}\)
- \(10^{\log(4)}\)
- \(a^{\log_a(m)}\)
- \(2^{\log_2(9)}=9\).
- \(10^{\log(4)}=4\).
- \(a^{\log_a(m)}=m\), si \(a>0\), \(a\neq 1\) y \(m>0\).
Ejercicio 3
Decide si hay cancelación directa. Si la hay, simplifica:
- \(\log_3(3^x)\)
- \(\log_2(5^x)\)
- \(10^{\log(x)}\)
- Sí: \(\log_3(3^x)=x\).
- No hay cancelación directa porque las bases son distintas.
- Sí: \(10^{\log(x)}=x\), con \(x>0\).
Cuidado
La cancelación no autoriza ignorar restricciones: el argumento de un logaritmo siempre debe ser positivo.