Libro de los Logaritmos
13. Errores frecuentes y restricciones
Objetivos
- Reconocer las restricciones de existencia de los logaritmos.
- Evitar errores frecuentes al aplicar propiedades.
- Distinguir propiedades válidas de transformaciones falsas.
Restricciones del logaritmo
Para que \(\log_a(x)\) exista en los números reales:
\[ a>0,\qquad a\neq 1,\qquad x>0. \]
Para \(\log(x)\), la base ya es \(10\), así que solo se exige \(x>0\).
No existen en los reales
- \(\log_a(0)\)
- \(\log_a(-5)\)
- \(\log_1(8)\)
- \(\log_{-2}(8)\)
Errores frecuentes
Son falsas, en general, las siguientes transformaciones:
\[ \log_a(x+y)=\log_a(x)+\log_a(y) \]
\[ \log_a(x-y)=\log_a(x)-\log_a(y) \]
Ejemplo 1: argumento negativo
\(\log(-100)\) no existe en los reales, aunque la base decimal sea válida, porque el argumento es negativo.
Ejemplo 2: base no permitida
\(\log_1(20)\) no existe, porque la base no puede ser \(1\).
Ejemplo 3: igualdad falsa por suma
\[ \log(10+90)\neq \log(10)+\log(90). \]
La propiedad válida separa productos, no sumas.
Ejemplo 4: revisar antes de resolver
En \(\log_2(x-3)\), se requiere:
\[ x-3>0 \quad \Rightarrow \quad x>3. \]
Ejercicio 1
Determina si existe en los números reales:
- \(\log_3(27)\)
- \(\log_1(9)\)
- \(\log(-1)\)
- Existe.
- No existe, porque la base es \(1\).
- No existe en los reales, porque el argumento es negativo.
Ejercicio 2
Indica si cada transformación es correcta o incorrecta:
- \(\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)\)
- \(\log_a(x+y)=\log_a(x)+\log_a(y)\)
- \(\log\left(\frac{x}{y}\right)=\log(x)-\log(y)\)
- Correcta.
- Incorrecta: no se separan sumas.
- Correcta para logaritmos decimales, con \(x>0\) y \(y>0\).
Ejercicio 3
Encuentra la restricción:
- \(\log_5(x-2)\)
- \(\log(3x+6)\)
- \(\log_a(4-x)\)
- \(x-2>0\), por lo tanto \(x>2\).
- \(3x+6>0\), por lo tanto \(x>-2\).
- \(4-x>0\), por lo tanto \(x<4\). Además, \(a>0\) y \(a\neq 1\).
Cómo evitar errores
Antes de aplicar propiedades, pregunta: ¿hay producto, cociente o potencia? Si solo hay suma o resta dentro del logaritmo, no se separa.