14. Usos y aplicaciones de los logaritmos

Objetivos

  • Reconocer aplicaciones de los logaritmos en situaciones reales.
  • Usar logaritmos decimales para contar dígitos y comparar órdenes de magnitud.
  • Interpretar escalas logarítmicas como escalas multiplicativas.

Para qué sirven

Los logaritmos ayudan a trabajar con cantidades que crecen por multiplicación: potencias de \(10\), escalas de magnitud, sonido, acidez, terremotos y datos muy grandes.

Cantidad de dígitos de un número

Si \(N\) es un número natural positivo, la cantidad de dígitos de \(N\) en base \(10\) es:

\[ \lfloor \log(N)\rfloor +1. \]

Aquí \(\log(N)\) es logaritmo decimal.

Por qué funciona

Los números de \(1\) dígito están entre \(10^0\) y \(10^1\); los de \(2\) dígitos entre \(10^1\) y \(10^2\), y así sucesivamente.

Ejemplo 1: cantidad de dígitos de 357

Como \(100<357<1000\), se tiene:

\[ 2<\log(357)<3. \]

Entonces \(\lfloor \log(357)\rfloor=2\), y el número tiene \(2+1=3\) dígitos.

Ejemplo 2: cantidad de dígitos de 1000000

\[ 1000000=10^6 \]

\[ \log(1000000)=6. \]

El número \(1000000\) tiene \(7\) dígitos, porque va desde \(10^6\) hasta antes de \(10^7\).

Ejemplo 3: comparar órdenes de magnitud

\(10^6\) es \(1000\) veces \(10^3\), porque:

\[ \frac{10^6}{10^3}=10^3=1000. \]

Escalas logarítmicas

En una escala logarítmica decimal, aumentar \(1\) unidad significa multiplicar por \(10\). Por eso estas escalas sirven para comparar cantidades muy pequeñas y muy grandes en una misma representación.

Ejercicio 1

Determina cuántos dígitos tiene cada número:

  1. \(543\)
  2. \(8900\)
  3. \(100000\)

Ejercicio 2

Si dos cantidades tienen logaritmos decimales que difieren en \(1\), ¿cuántas veces mayor es una que la otra?

Ejercicio 3

Responde:

  1. ¿Cuál tiene mayor orden de magnitud: \(10^3\) o \(10^6\)?
  2. ¿Por qué una escala logarítmica es útil para cantidades muy grandes?