Libro de los Logaritmos
16. Ruta para resolver ejercicios de logaritmos
Objetivos
- Seleccionar una estrategia adecuada según el tipo de ejercicio con logaritmos.
- Revisar condiciones de existencia antes de aplicar propiedades.
- Integrar definición, propiedades, cambio de base, cancelaciones y restricciones.
Antes de calcular: mirar la forma
Antes de aplicar una propiedad, identifica qué forma tiene el ejercicio: definición, producto, cociente, potencia, cambio de base, cancelación o restricción.
Ruta de decisión
- Revisa si hay restricciones: argumentos positivos y bases válidas.
- Si el logaritmo está igualado a un número, usa la definición.
- Si hay producto, cociente o potencia, usa propiedades.
- Si aparece \(\log(x)\), recuerda que es base \(10\).
- Si hay bases incómodas, considera cambio de base.
- Al final, verifica que el resultado respete las restricciones.
La restricción no es un detalle
En una ecuación logarítmica, una solución algebraica puede no servir si hace que algún argumento sea cero o negativo.
Ejemplo 1: usar la definición
\[ \log_5(x)=3 \]
Por definición:
\[ x=5^3=125. \]
Ejemplo 2: condensar antes de resolver
\[ \log_2(x)+\log_2(4)=5 \]
Condensamos:
\[ \log_2(4x)=5 \]
Entonces:
\[ 4x=2^5=32 \quad \Rightarrow \quad x=8. \]
Ejemplo 3: revisar restricciones
\[ \log(x-1)=2 \]
Primero \(x-1>0\), es decir \(x>1\). Luego:
\[ x-1=10^2=100 \quad \Rightarrow \quad x=101. \]
Como \(101>1\), la solución sirve.
Ejemplo 4: usar cambio de base
\[ \log_3(7)=\frac{\log(7)}{\log(3)}. \]
Esta forma permite aproximar con logaritmos decimales.
Ejercicio 1
Identifica la estrategia principal y resuelve:
\[ \log_5(x)=3 \]
Estrategia: definición. Entonces \(x=5^3=125\).
Ejercicio 2
Identifica la estrategia principal y transforma:
\[ \log_2(8x^4) \]
Estrategia: expandir producto y potencia.
\[ \log_2(8x^4)=\log_2(8)+\log_2(x^4)=3+4\log_2(x). \]
Ejercicio 3
Identifica la estrategia principal y condensa:
\[ \log(a)+\log(b)-\log(c) \]
Estrategia: condensar logaritmos decimales.
\[ \log(a)+\log(b)-\log(c)=\log\left(\frac{ab}{c}\right). \]
Ejercicio 4
Resuelve revisando restricciones:
\[ \log(x-2)=1 \]
Restricción: \(x-2>0\), por lo tanto \(x>2\).
Como \(\log(x-2)=1\), entonces \(x-2=10^1=10\). Por lo tanto \(x=12\), que cumple la restricción.
Ejercicio 5
Reescribe con cambio de base decimal:
\[ \log_6(11) \]
\[ \log_6(11)=\frac{\log(11)}{\log(6)}. \]
Ejercicio 6
Decide si hay cancelación directa:
- \(\log_4(4^x)\)
- \(10^{\log(x)}\)
- \(\log_3(5^x)\)
- Sí: \(\log_4(4^x)=x\).
- Sí: \(10^{\log(x)}=x\), con \(x>0\).
- No, porque las bases son distintas.
Interpretar antes de cerrar
Un buen resultado no solo es una respuesta final: también debe explicar qué propiedad se usó y por qué las restricciones se cumplen.