6. Vértice de la parábola

Objetivos

  • Determinar el vértice de una función cuadrática.
  • Interpretar el vértice como punto central de la parábola.
  • Relacionar el vértice con el máximo o mínimo de la función.

Qué es el vértice

El vértice es el punto donde la parábola cambia de dirección. Si se abre hacia arriba, el vértice es el punto más bajo; si se abre hacia abajo, es el punto más alto.

Cómo calcularlo

Para \(f(x)=ax^2+bx+c\), la coordenada horizontal del vértice es:

\[ x_v=\frac{-b}{2a}. \]

Luego se calcula:

\[ y_v=f(x_v). \]

Visualización del vértice

Ejemplo 1: vértice de una parábola hacia arriba

Sea \(f(x)=x^2-4x+3\). Aquí \(a=1\) y \(b=-4\).

\[ x_v=\frac{-(-4)}{2(1)}=2. \]

\[ y_v=f(2)=2^2-4(2)+3=4-8+3=-1. \]

El vértice es \((2,-1)\).

Ejemplo 2: vértice de una parábola hacia abajo

Sea \(g(x)=-2x^2+4x-1\). Aquí \(a=-2\) y \(b=4\).

\[ x_v=\frac{-4}{2(-2)}=1. \]

\[ y_v=g(1)=-2(1)^2+4(1)-1=1. \]

El vértice es \((1,1)\).

Ejercicio 1

Encuentra el vértice de \(f(x)=x^2-6x+5\).

Ejercicio 2

Encuentra el vértice de \(g(x)=-x^2+2x+8\).

Ejercicio 3

Si el vértice de una parábola que se abre hacia arriba es \((2,-5)\), ¿ese punto es máximo o mínimo?

Ejercicio 4

Para \(p(x)=2x^2+8x+1\), calcula solo \(x_v\).

Ejercicio 5

Para \(q(x)=5-4x+x^2\), encuentra el vértice.

Ejercicio 6

Explica por qué no basta con calcular \(x_v\) para conocer el vértice completo.