Libro de las Funciones cuadraticas
1. ¿Qué es una función cuadrática?
Objetivos
- Reconocer una función cuadrática y distinguirla de una ecuación cuadrática.
- Identificar los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) en la forma general.
- Comprender que una función cuadrática se representa gráficamente mediante una parábola.
De la ecuación a la función
En el libro de ecuación cuadrática se estudiaron expresiones de la forma:
\[ ax^2+bx+c=0. \]
En este libro miraremos una idea relacionada, pero más amplia:
\[ f(x)=ax^2+bx+c. \]
La diferencia es importante: una ecuación busca valores de \(x\); una función describe cómo cambia una cantidad \(f(x)\) cuando cambia \(x\).
Definición
Una función cuadrática es una función que puede escribirse en la forma:
\[ f(x)=ax^2+bx+c, \]
donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales y \(a\neq 0\).
Primera lectura de los coeficientes
| Coeficiente | Qué indica inicialmente |
|---|---|
| \(a\) | Confirma que la función es cuadrática y anticipa la concavidad. |
| \(b\) | Influye en la ubicación horizontal del vértice. |
| \(c\) | Corresponde al valor de la función cuando \(x=0\). |
Visualización inicial
La gráfica de una función cuadrática tiene forma de parábola. En el siguiente plano se muestra un ejemplo.
Error común
No toda expresión con \(x^2\) es una función cuadrática escrita correctamente. Debe poder expresarse como \(f(x)=ax^2+bx+c\) con \(a\neq 0\).
Ejemplo 1: identificar coeficientes
Consideremos:
\[ f(x)=3x^2-5x+1. \]
La forma general es \(f(x)=ax^2+bx+c\). Por lo tanto:
\[ a=3,\qquad b=-5,\qquad c=1. \]
Como \(a\neq 0\), sí es una función cuadrática.
Ejemplo 2: distinguir función y ecuación
La expresión:
\[ x^2-5x+6=0 \]
es una ecuación cuadrática. En cambio:
\[ f(x)=x^2-5x+6 \]
es una función cuadrática. Más adelante veremos que resolver \(x^2-5x+6=0\) permite encontrar los ceros de la función.
Ejercicio 1
Identifica \(a\), \(b\) y \(c\) en \(f(x)=2x^2+7x-4\).
Comparando con \(f(x)=ax^2+bx+c\):
\[ a=2,\qquad b=7,\qquad c=-4. \]
Ejercicio 2
Identifica los coeficientes de \(g(x)=5-3x+x^2\).
Primero ordenamos:
\[ g(x)=x^2-3x+5. \]
Entonces \(a=1\), \(b=-3\) y \(c=5\).
Ejercicio 3
¿La función \(h(x)=4x-1\) es cuadrática? Justifica.
No es cuadrática, porque no aparece un término de grado \(2\). Es una función lineal.
Ejercicio 4
¿La expresión \(y=-x^2+6\) puede representar una función cuadrática?
Sí. Se puede escribir como:
\[ f(x)=-x^2+0x+6. \]
Por lo tanto, \(a=-1\), \(b=0\), \(c=6\).
Ejercicio 5
Escribe una función cuadrática con \(a=-2\), \(b=4\) y \(c=3\).
Usamos la forma general:
\[ f(x)=-2x^2+4x+3. \]
Ejercicio 6
Explica con tus palabras la diferencia entre \(x^2-4x+3=0\) y \(f(x)=x^2-4x+3\).
La primera es una ecuación: se buscan valores de \(x\) que hagan verdadera la igualdad. La segunda es una función: para cada valor de \(x\), entrega una imagen \(f(x)\).