9. Recorrido de una función cuadrática

Objetivos

  • Determinar el recorrido de una función cuadrática desde el vértice y la concavidad.
  • Expresar recorridos usando desigualdades e intervalos.
  • Conectar recorrido con máximo o mínimo.

Qué es el recorrido

El recorrido es el conjunto de valores que puede tomar \(f(x)\). En una función cuadrática depende del vértice y de la dirección en que se abre la parábola.

Regla

Si el vértice es \((h,k)\):

  • Si \(a>0\), el recorrido es \(y\geq k\), o \([k,\infty)\).
  • Si \(a<0\), el recorrido es \(y\leq k\), o \((-\infty,k]\).

Recorrido visual

Síntesis hasta aquí

Con \(a\), \(c\), el vértice y el eje de simetría ya podemos leer bastante de una parábola antes de estudiar sus ceros: dirección, corte con \(y\), centro, extremo y recorrido.

Ejemplo 1: recorrido con mínimo

Si el vértice de \(f\) es \((2,-1)\) y \(a>0\), entonces la función tiene mínimo \(-1\).

Su recorrido es:

\[ [-1,\infty). \]

Ejemplo 2: recorrido con máximo

Si el vértice de \(g\) es \((1,5)\) y \(a<0\), entonces la función tiene máximo \(5\).

Su recorrido es:

\[ (-\infty,5]. \]

Ejercicio 1

Determina el recorrido si el vértice es \((3,-4)\) y la parábola se abre hacia arriba.

Ejercicio 2

Determina el recorrido si el vértice es \((-2,7)\) y la parábola se abre hacia abajo.

Ejercicio 3

Encuentra el recorrido de \(f(x)=x^2-6x+5\).

Ejercicio 4

Encuentra el recorrido de \(g(x)=-x^2+4x+1\).

Ejercicio 5

¿Cuál es la diferencia entre dominio y recorrido en estas funciones?

Ejercicio 6

Si una función tiene recorrido \([2,\infty)\), ¿qué puedes inferir sobre su vértice y concavidad?