Libro de las Funciones cuadraticas
11. Ceros por factor común y casos inmediatos
Objetivos
- Determinar ceros en funciones cuadráticas de casos inmediatos.
- Usar factor común para resolver \(f(x)=0\).
- Interpretar los ceros como cortes con el eje \(x\).
Cuándo usar este método
Conviene usar factor común cuando los términos de la función comparten un factor, especialmente cuando no aparece término independiente.
Producto nulo
Si \(A\cdot B=0\), entonces:
\[ A=0 \quad \text{o} \quad B=0. \]
Ejemplo 1: caso inmediato
Sea \(f(x)=3x^2\). Buscamos \(f(x)=0\):
\[ 3x^2=0 \Rightarrow x^2=0 \Rightarrow x=0. \]
El único cero es \(x=0\), y el corte es \((0,0)\).
Ejemplo 2: factor común
Sea \(g(x)=2x^2-8x\). Resolvemos:
\[ 2x^2-8x=0. \]
Sacamos factor común:
\[ 2x(x-4)=0. \]
Entonces \(x=0\) o \(x=4\).
Error común
No se debe dividir por \(x\) sin cuidado, porque se puede perder la solución \(x=0\). Factorizar conserva todas las soluciones.
Ejercicio 1
Encuentra los ceros de \(f(x)=5x^2\).
\[ 5x^2=0 \Rightarrow x^2=0 \Rightarrow x=0. \]
Ejercicio 2
Encuentra los ceros de \(g(x)=x^2-7x\).
\[ x^2-7x=x(x-7)=0. \]
Los ceros son \(x=0\) y \(x=7\).
Ejercicio 3
Encuentra los ceros de \(h(x)=3x^2+12x\).
\[ 3x^2+12x=3x(x+4)=0. \]
Los ceros son \(x=0\) y \(x=-4\).
Ejercicio 4
Encuentra los puntos de corte con el eje \(x\) de \(p(x)=2x^2-10x\).
\[ 2x^2-10x=2x(x-5)=0. \]
Los ceros son \(0\) y \(5\), por lo tanto los puntos son \((0,0)\) y \((5,0)\).
Ejercicio 5
Explica por qué dividir \(x^2-5x=0\) por \(x\) puede ser peligroso.
Si se divide por \(x\), se asume que \(x\neq 0\). Pero \(x=0\) sí es solución. Por eso conviene factorizar \(x(x-5)=0\).
Ejercicio 6
Crea una función cuadrática cuyos ceros sean \(0\) y \(3\).
Una opción es:
\[ f(x)=x(x-3)=x^2-3x. \]