13. Ceros por fórmula cuadrática

Objetivos

  • Usar la fórmula cuadrática para encontrar ceros de una función cuadrática.
  • Interpretar el discriminante antes de calcular los ceros.
  • Relacionar las soluciones obtenidas con los cortes de la parábola.

Cuándo usar la fórmula

La fórmula cuadrática es útil cuando la función no se factoriza fácilmente o cuando se quiere un método general. Su demostración se estudia en el libro de ecuación cuadrática; aquí la usaremos para leer los ceros de la función.

Fórmula cuadrática

Para resolver \(ax^2+bx+c=0\):

\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \]

El discriminante es:

\[ \Delta=b^2-4ac. \]

Visualización con dos ceros

Ejemplo 1: dos ceros reales

Sea \(f(x)=2x^2-8x+5\). Buscamos \(f(x)=0\), con \(a=2\), \(b=-8\), \(c=5\).

\[ \Delta=(-8)^2-4(2)(5)=64-40=24. \]

\[ x=\frac{-(-8)\pm\sqrt{24}}{2(2)} =\frac{8\pm 2\sqrt{6}}{4} =\frac{4\pm\sqrt{6}}{2}. \]

Como \(\Delta>0\), hay dos cortes con el eje \(x\).

Ejemplo 2: sin ceros reales

Sea \(g(x)=x^2+2x+3\). Entonces:

\[ \Delta=2^2-4(1)(3)=4-12=-8. \]

Como \(\Delta<0\), no hay soluciones reales para \(g(x)=0\). La parábola no corta el eje \(x\).

Ejercicio 1

Usa la fórmula para encontrar los ceros de \(f(x)=x^2-2x-3\).

Ejercicio 2

Calcula el discriminante de \(g(x)=x^2+6x+9\) e interpreta.

Ejercicio 3

Determina si \(h(x)=2x^2+x+5\) corta el eje \(x\).

Ejercicio 4

Usa la fórmula para resolver \(2x^2-5x+2=0\).

Ejercicio 5

¿Por qué en esta página no se demuestra la fórmula cuadrática?

Ejercicio 6

Si una función tiene \(\Delta>0\), ¿qué se espera ver en su gráfica?