Libro de las Funciones cuadraticas
14. Signo de una función cuadrática
Objetivos
- Determinar cuándo una función cuadrática es positiva, negativa o nula.
- Relacionar el signo con la posición de la parábola respecto del eje \(x\).
- Usar ceros y concavidad para construir intervalos de signo.
Qué significa estudiar el signo
Estudiar el signo de una función significa decidir para qué valores de \(x\) se cumple \(f(x)>0\), \(f(x)=0\) o \(f(x)<0\).
Ruta de análisis
- Encuentra los ceros de la función.
- Ubica los ceros en la recta numérica.
- Usa la concavidad para saber dónde la parábola está sobre o bajo el eje \(x\).
- Escribe los intervalos de signo.
Signo y gráfica
Ejemplo 1: parábola hacia arriba
Para \(f(x)=x^2-4x+3\), los ceros son \(x=1\) y \(x=3\).
Como \(a>0\), la parábola se abre hacia arriba.
Entonces:
- \(f(x)>0\) si \(x<1\) o \(x>3\).
- \(f(x)=0\) si \(x=1\) o \(x=3\).
- \(f(x)<0\) si \(1<x<3\).
Ejemplo 2: parábola hacia abajo
Para \(g(x)=-x^2+4x-3\), los ceros también son \(1\) y \(3\), pero \(a<0\).
La parábola se abre hacia abajo, así que el signo se invierte respecto del ejemplo anterior.
- \(g(x)>0\) si \(1<x<3\).
- \(g(x)<0\) si \(x<1\) o \(x>3\).
Ejercicio 1
Estudia el signo de \(f(x)=x^2-9\).
Los ceros son \(-3\) y \(3\). Como \(a>0\), \(f(x)>0\) fuera del intervalo y \(f(x)<0\) entre los ceros.
Entonces \(f(x)>0\) si \(x<-3\) o \(x>3\), \(f(x)=0\) si \(x=\pm 3\), y \(f(x)<0\) si \(-3<x<3\).
Ejercicio 2
Estudia el signo de \(g(x)=-x^2+4\).
Los ceros son \(-2\) y \(2\). Como \(a<0\), la función es positiva entre los ceros y negativa fuera.
\[ g(x)>0 \text{ si } -2<x<2. \]
Ejercicio 3
Si una función cuadrática se abre hacia arriba y no tiene ceros reales, ¿qué puedes decir de su signo?
Si no corta el eje \(x\) y se abre hacia arriba, toda la parábola está sobre el eje \(x\). Entonces \(f(x)>0\) para todo \(x\), suponiendo que su vértice está sobre el eje.
Ejercicio 4
Para \(p(x)=(x-2)^2\), estudia el signo.
\((x-2)^2\) nunca es negativo. Por lo tanto, \(p(x)\geq 0\) para todo \(x\), y \(p(x)=0\) solo si \(x=2\).
Ejercicio 5
Explica qué significa \(f(x)<0\) en la gráfica.
Significa que la gráfica está bajo el eje \(x\), porque las imágenes de la función son negativas.
Ejercicio 6
Una ganancia se modela por \(G(x)=-x^2+6x-5\). ¿Entre qué valores de \(x\) la ganancia es positiva?
Buscamos ceros:
\[ -x^2+6x-5=0 \Rightarrow x^2-6x+5=0 \Rightarrow (x-1)(x-5)=0. \]
Los ceros son \(1\) y \(5\). Como la parábola se abre hacia abajo, \(G(x)>0\) si \(1<x<5\).