15. Análisis completo de una función cuadrática

Objetivos

  • Integrar concavidad, corte con \(y\), vértice, eje, recorrido, ceros y signo.
  • Elegir una forma útil de la función según la información que se busca.
  • Comunicar un análisis completo de manera ordenada.

Ruta maestra

Dato que se busca Herramienta útil
ConcavidadSigno de \(a\)
Corte con \(y\)Coeficiente \(c\)
Vértice y eje\(x_v=\frac{-b}{2a}\)
RecorridoVértice y concavidad
CerosResolver \(f(x)=0\)
SignoCeros y concavidad

Formas útiles de una cuadrática

Forma Qué muestra mejor
\(ax^2+bx+c\)Coeficientes, concavidad y corte con \(y\)
\(a(x-r_1)(x-r_2)\)Ceros o cortes con el eje \(x\)
\(a(x-h)^2+k\)Vértice, eje y recorrido

Análisis visual

Ejemplo 1: análisis completo

Analicemos \(f(x)=x^2-4x+3\).

  • Concavidad: \(a=1>0\), se abre hacia arriba.
  • Corte con \(y\): \(c=3\), punto \((0,3)\).
  • Vértice: \(x_v=2\), \(f(2)=-1\), vértice \((2,-1)\).
  • Eje de simetría: \(x=2\).
  • Recorrido: \([-1,\infty)\).
  • Ceros: \((x-1)(x-3)=0\), entonces \(x=1\) y \(x=3\).
  • Signo: positiva fuera de \((1,3)\), negativa entre \(1\) y \(3\).

Ejemplo 2: análisis sin ceros reales

Para \(g(x)=x^2+2x+3\), el vértice es \((-1,2)\) y \(a>0\).

El recorrido es \([2,\infty)\). Como el mínimo es positivo, la parábola no corta el eje \(x\). Por lo tanto, \(g(x)>0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\).

Ejercicio 1

Analiza concavidad y corte con \(y\) de \(f(x)=2x^2-8x+6\).

Ejercicio 2

Encuentra vértice y eje de \(f(x)=2x^2-8x+6\).

Ejercicio 3

Determina el recorrido de \(f(x)=2x^2-8x+6\).

Ejercicio 4

Encuentra los ceros de \(f(x)=2x^2-8x+6\).

Ejercicio 5

Estudia el signo de \(f(x)=2x^2-8x+6\).

Ejercicio 6

Explica por qué esta página funciona como síntesis del libro.