18. Planteo de funciones cuadráticas

Objetivos

  • Traducir situaciones verbales a funciones cuadráticas.
  • Identificar variable independiente y magnitud dependiente.
  • Construir modelos cuadráticos simples a partir de áreas, trayectorias o datos dados.

Qué significa plantear

Plantear una función cuadrática significa construir una expresión \(f(x)=ax^2+bx+c\) que represente una situación. No se parte resolviendo: primero se decide qué representa \(x\).

Pasos recomendados

  1. Define la variable independiente.
  2. Identifica qué magnitud depende de esa variable.
  3. Escribe la relación usando datos del problema.
  4. Ordena la expresión si es necesario.
  5. Interpreta el dominio contextual.

Ejemplo 1: área de un rectángulo

Un rectángulo tiene base \(x\) y altura \(x+3\). Su área es:

\[ A(x)=x(x+3)=x^2+3x. \]

Esta es una función cuadrática.

Ejemplo 2: perímetro fijo

Un rectángulo tiene perímetro \(20\). Si un lado mide \(x\), el otro mide \(10-x\). Entonces:

\[ A(x)=x(10-x)=10x-x^2. \]

El modelo permite estudiar qué valor de \(x\) maximiza el área.

Cuidado con el dominio contextual

Aunque una función cuadrática pueda evaluarse para muchos valores reales, en un contexto de longitudes, tiempos o cantidades, no todos los valores tienen sentido.

Ejercicio 1

Un rectángulo tiene base \(x\) y altura \(x+5\). Plantea su área.

Ejercicio 2

Un rectángulo tiene perímetro \(30\). Si un lado mide \(x\), plantea el área en función de \(x\).

Ejercicio 3

Una pelota se lanza desde \(2\) m de altura y su modelo es cuadrático con velocidad inicial \(5\). Propón un modelo simple usando \(h(t)=-t^2+5t+2\) e interpreta cada término.

Ejercicio 4

Si una función tiene ceros \(1\) y \(4\), plantea una función cuadrática simple con esos ceros.

Ejercicio 5

Plantea una función cuadrática con vértice \((2,3)\) que se abra hacia arriba.

Ejercicio 6

Explica por qué plantear no es lo mismo que resolver.