¿Que tan probable es si....?
2. Probabilidad: Regla de la Suma y del Complemento
Probabilidad: Regla de la Suma y del Complemento
Repaso Rápido
Recordemos
- Experimento aleatorio: proceso cuyo resultado es incierto.
- Espacio muestral \((\Omega)\): conjunto de todos los resultados posibles.
- Evento: subconjunto del espacio muestral.
- Probabilidad: medida de la posibilidad de que ocurra un evento, con valores entre \(0\) y \(1\).
- Probabilidad clásica: si los resultados son equiprobables, entonces: \[ P(A)=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}} \]
Regla de la Suma
Eventos mutuamente excluyentes
Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo.
Ejemplos:
- Al lanzar un dado: “obtener un \(1\)” y “obtener un \(6\)”.
- Al sacar una carta: “sacar un rey” y “sacar una reina”.
- En una carrera: “llegar primero” y “llegar segundo”.
Si \(A\) y \(B\) son mutuamente excluyentes, entonces:
\[ P(A \text{ o } B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B) \]
Ejemplo: eventos mutuamente excluyentes
Al lanzar un dado, consideremos los eventos:
- \(A\): obtener un \(1\).
- \(B\): obtener un \(6\).
Estos eventos no pueden ocurrir al mismo tiempo, por lo tanto son mutuamente excluyentes.
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
Eventos no mutuamente excluyentes
Dos eventos son no mutuamente excluyentes si pueden ocurrir al mismo tiempo.
Ejemplos:
- Al lanzar un dado: “obtener par” y “obtener un número mayor que \(3\)”.
- Al sacar una carta: “sacar corazón” y “sacar figura”.
- En una encuesta: “tener perro” y “tener gato”.
En este caso se usa la regla general de la suma:
\[ P(A \text{ o } B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]
Se resta \(P(A\cap B)\) para evitar contar dos veces los casos que pertenecen a ambos eventos.
Ejemplo: eventos no mutuamente excluyentes
Al lanzar un dado, consideremos los eventos:
- \(A\): obtener un número par, entonces \(A=\{2,4,6\}\).
- \(B\): obtener un número mayor que \(3\), entonces \(B=\{4,5,6\}\).
Los eventos tienen resultados en común:
\[ A\cap B=\{4,6\} \]
Por lo tanto:
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]
\[ P(A\cup B)=\frac{3}{6}+\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \]
Diagramas de Venn
Los diagramas de Venn ayudan a visualizar eventos. Cada círculo representa un evento. La intersección corresponde a “\(A\) y \(B\)”, mientras que la unión corresponde a “\(A\) o \(B\)”.
Regla del Complemento
Complemento de un evento
El complemento de un evento \(A\), escrito como \(A^c\), \(A'\) o \(\bar{A}\), es el evento en que no ocurre \(A\).
Ejemplos:
- Si \(A\) es “obtener par en un dado”, entonces \(A^c\) es “obtener impar”.
- Si \(A\) es “sacar rey”, entonces \(A^c\) es “no sacar rey”.
- Si \(A\) es “obtener al menos una cara al lanzar tres monedas”, entonces \(A^c\) es “no obtener ninguna cara”.
La fórmula del complemento es:
\[ P(A^c)=1-P(A) \]
Ejemplo: uso del complemento
Al lanzar un dado, sea \(A\) el evento “obtener un \(2\)”. Entonces:
\[ P(A)=\frac{1}{6} \]
El complemento \(A^c\) corresponde a “no obtener un \(2\)”. Por la regla del complemento:
\[ P(A^c)=1-P(A)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} \]
Ejercicios y Problemas
Ejercicios (Nivel Básico)
Ejercicio 1
Clasifica los siguientes pares de eventos como mutuamente excluyentes (ME) o no mutuamente excluyentes (NME):
- Lanzar un dado: “obtener un \(2\)” y “obtener un número impar”.
- Sacar una carta: “sacar un trébol” y “sacar un \(7\)”.
- Elegir un estudiante: “ser mujer” y “tener ojos azules”.
- Lanzar dos monedas: “obtener dos caras” y “obtener al menos un sello”.
-
“Obtener un \(2\)” y “obtener un número impar” son eventos mutuamente excluyentes, porque \(2\) no es impar.
-
“Sacar un trébol” y “sacar un \(7\)” son eventos no mutuamente excluyentes, porque existe el \(7\) de tréboles.
-
“Ser mujer” y “tener ojos azules” son eventos no mutuamente excluyentes, porque una persona puede cumplir ambas condiciones.
-
Al lanzar dos monedas, “obtener dos caras” corresponde a \(CC\). “Obtener al menos un sello” corresponde a \(CS\), \(SC\) o \(SS\). No hay resultados en común, por lo tanto son eventos mutuamente excluyentes.
Ejercicio 2
Si \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\), y \(A\) y \(B\) son mutuamente excluyentes, calcula:
- \(P(A\text{ o }B)\)
- \(P(A^c)\)
- \(P(B^c)\)
-
Como \(A\) y \(B\) son mutuamente excluyentes:
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0{,}4+0{,}5=0{,}9 \]
-
Aplicando la regla del complemento:
\[ P(A^c)=1-P(A)=1-0{,}4=0{,}6 \]
-
Aplicando la regla del complemento:
\[ P(B^c)=1-P(B)=1-0{,}5=0{,}5 \]
Ejercicio 3
Si \(P(A)=0{,}6\), \(P(B)=0{,}3\), y \(P(A\cap B)=0{,}2\), calcula \(P(A\cup B)\).
Como conocemos la probabilidad de la intersección, usamos la regla general de la suma:
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]
Reemplazamos los datos:
\[ P(A\cup B)=0{,}6+0{,}3-0{,}2=0{,}7 \]
Por lo tanto:
\[ P(A\cup B)=0{,}7 \]
Ejercicios (Nivel Intermedio)
Ejercicio 4
Se lanza un dado de seis caras. Calcula la probabilidad de:
- Obtener un \(3\) o un \(4\).
- Obtener un número par o un número mayor que \(4\).
- No obtener un \(2\).
- Obtener un número que no sea ni \(5\) ni \(6\).
El espacio muestral del dado es:
\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]
-
Obtener \(3\) y obtener \(4\) son eventos mutuamente excluyentes.
\[ P(3\text{ o }4)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
-
Sea \(A\): “obtener par”, entonces \(A=\{2,4,6\}\). Sea \(B\): “obtener un número mayor que \(4\)”, entonces \(B=\{5,6\}\).
La intersección es \(A\cap B=\{6\}\), porque el \(6\) cumple ambas condiciones.
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]
\[ P(A\cup B)=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \]
-
Usamos la regla del complemento:
\[ P(\text{no obtener }2)=1-P(2)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} \]
-
“No obtener ni \(5\) ni \(6\)” es el complemento de obtener \(5\) o \(6\).
\[ P(5\text{ o }6)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6} \]
\[ P(\text{no }5\text{ y no }6)=1-\frac{2}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \]
Ejercicio 5
En una urna hay \(5\) bolas rojas, \(3\) bolas azules y \(2\) bolas blancas. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de:
- Sacar una bola roja o blanca.
- No sacar una bola azul.
- Sacar una bola que no sea ni roja ni blanca.
Primero calculamos el total de bolas:
\[ 5+3+2=10 \]
-
Sacar una bola roja y sacar una bola blanca son eventos mutuamente excluyentes.
\[ P(\text{roja o blanca})=\frac{5}{10}+\frac{2}{10}=\frac{7}{10} \]
-
No sacar una bola azul es el complemento de sacar una bola azul.
\[ P(\text{no azul})=1-P(\text{azul})=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10} \]
-
Si la bola no es roja ni blanca, entonces debe ser azul.
\[ P(\text{no roja y no blanca})=P(\text{azul})=\frac{3}{10} \]
Problemas (Nivel Intermedio-Avanzado)
Problema 1
En un grupo de \(100\) personas, \(60\) leen el periódico A, \(40\) leen el periódico B y \(15\) leen ambos periódicos. Se elige una persona al azar. Calcula la probabilidad de que:
- Lea el periódico A o el periódico B.
- No lea ninguno de los dos periódicos.
- Lea solo el periódico A.
-
Sea \(A\) el evento “leer el periódico A” y \(B\) el evento “leer el periódico B”. Como \(15\) personas leen ambos periódicos:
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]
\[ P(A\cup B)=\frac{60}{100}+\frac{40}{100}-\frac{15}{100} \]
\[ P(A\cup B)=\frac{85}{100}=0{,}85 \]
-
No leer ninguno de los dos periódicos es el complemento de leer A o B.
\[ P((A\cup B)^c)=1-P(A\cup B)=1-0{,}85=0{,}15 \]
-
Para leer solo el periódico A, se debe restar a quienes leen ambos periódicos:
\[ P(\text{solo A})=P(A)-P(A\cap B) \]
\[ P(\text{solo A})=\frac{60}{100}-\frac{15}{100}=\frac{45}{100}=0{,}45 \]
Problema 2
Se tienen dos eventos \(A\) y \(B\), tales que \(P(A)=0{,}7\), \(P(B^c)=0{,}4\), y \(P(A\cup B)=0{,}8\). Calcula:
- \(P(B)\)
- \(P(A\cap B)\)
- \(P(A^c\cap B^c)\)
-
Como \(B^c\) es el complemento de \(B\):
\[ P(B)=1-P(B^c)=1-0{,}4=0{,}6 \]
-
Usamos la regla general de la suma:
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]
Reemplazamos:
\[ 0{,}8=0{,}7+0{,}6-P(A\cap B) \]
\[ 0{,}8=1{,}3-P(A\cap B) \]
\[ P(A\cap B)=1{,}3-0{,}8=0{,}5 \]
-
El evento \(A^c\cap B^c\) significa que no ocurre \(A\) ni ocurre \(B\). Es el complemento de \(A\cup B\).
\[ P(A^c\cap B^c)=P((A\cup B)^c)=1-P(A\cup B) \]
\[ P(A^c\cap B^c)=1-0{,}8=0{,}2 \]
Problema 3
Demuestra que, para cualquier evento \(A\), se cumple:
\[ P(A)+P(A^c)=1 \]
Usa un diagrama de Venn y la definición de probabilidad para justificar tu respuesta.
En un diagrama de Venn, el evento \(A\) se representa con un círculo dentro del espacio muestral \(\Omega\). El complemento \(A^c\) corresponde a toda la región de \(\Omega\) que queda fuera de \(A\).
Por definición, \(A\) y \(A^c\) no pueden ocurrir al mismo tiempo. Por lo tanto, son eventos mutuamente excluyentes.
Además, entre \(A\) y \(A^c\) cubren todo el espacio muestral \(\Omega\). Por eso:
\[ A\cup A^c=\Omega \]
Aplicando la regla de la suma para eventos mutuamente excluyentes:
\[ P(A\cup A^c)=P(A)+P(A^c) \]
Pero como \(A\cup A^c=\Omega\), se tiene:
\[ P(A\cup A^c)=P(\Omega)=1 \]
Por lo tanto:
\[ P(A)+P(A^c)=1 \]
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