1. Introducción a la Probabilidad: Conceptos Básicos

Introducción a la Probabilidad: Conceptos Básicos

Introducción a la Probabilidad: Conceptos Básicos

¿Qué es la Probabilidad?

La probabilidad es una medida de la incertidumbre. Nos dice qué tan posible es que ocurra un evento. Se expresa como un número entre 0 y 1 (o un porcentaje entre 0% y 100%).

  • Probabilidad = 0 (o 0%): Evento imposible.
  • Probabilidad = 1 (o 100%): Evento seguro.
  • Probabilidad entre 0 y 1: Grado de posibilidad. Más cerca de 1, más probable.

Ejemplo 1: Moneda: P(cara) = 0.5 (50%), P(sello) = 0.5 (50%).

Ejemplo 2: 3 bolas rojas, 2 azules: P(roja) = 3/5 = 0.6 (60%).

Conceptos Fundamentales

Experimento Aleatorio

Proceso con resultado incierto. Repetible, con resultados posibles conocidos.

Ejemplos: Lanzar un dado, sacar una carta, medir tiempo de reacción.

Espacio Muestral (Ω)

Conjunto de *todos* los resultados posibles.

Ejemplos: Dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dos monedas: Ω = {CC, CS, SC, SS}.

Evento (o Suceso)

Subconjunto del espacio muestral. Uno o más resultados posibles.

Ejemplos: Dado, par: A = {2, 4, 6}. Dos monedas, al menos una cara: B = {CC, CS, SC}.

  • Simple: Un solo resultado.
  • Compuesto: Más de un resultado.

Cálculo de Probabilidades

Enfoque Clásico (Laplace)

Si todos los resultados son *igualmente probables*:

Fórmula: \[ P(A) = \frac{\text{Casos favorables a A}}{\text{Casos posibles}} = \frac{\text{Número de elementos en A}}{\text{Número de elementos en Ω}} \]

Ejemplos: P(3 en un dado) = 1/6. P(par) = 3/6 = 1/2. P(corazón) = 13/52 = 1/4.

Enfoque Frecuentista (Frecuencia Relativa)

Si repetimos el experimento muchas veces:

Fórmula (aproximada): \[ P(A) \approx \frac{\text{Veces que ocurre A}}{\text{Repeticiones}} \]

Esta es la *frecuencia relativa* de A. Más repeticiones, mejor aproximación.

Ejemplo: 1000 lanzamientos, 512 caras. Frecuencia relativa ≈ 0.512.

Representación

Fracción (1/2), decimal (0.5), porcentaje (50%). Son equivalentes.

Ejercicios y Problemas (Ordenados por Dificultad)

Ejercicios (Nivel Básico)

Ejercicio 1: Describe el espacio muestral para:

  1. Lanzar un dado de diez caras (numeradas del 1 al 10).
  2. Elegir una vocal de la palabra "MURCIELAGO".
  3. Lanzar una moneda tres veces.

Ejercicio 2: Calcula la probabilidad (enfoque clásico):

  1. Obtener un número mayor que 4 al lanzar un dado de seis caras.
  2. Sacar una carta de espadas de una baraja de 52 cartas.
  3. Obtener al menos un sello al lanzar una moneda dos veces.

Ejercicio 3: Clasifica los siguientes eventos al lanzar un dado de seis caras como simples o compuestos:

  1. Obtener un 6.
  2. Obtener un número impar.
  3. Obtener un número mayor que 2.
  4. Obtener un 1.

Ejercicio 4: Expresa las siguientes probabilidades como fracción, decimal y porcentaje:

  1. La probabilidad de que llueva mañana es de 0.3.
  2. La probabilidad de ganar un premio es de 1/5.
  3. La probabilidad de que un estudiante apruebe un examen es del 80%.

Ejercicios (Nivel Intermedio)

Ejercicio 5: Se lanza una moneda 100 veces y se obtienen 45 caras. Calcula la frecuencia relativa de obtener cara y compárala con la probabilidad teórica.

Ejercicio 6: En una caja hay 6 bolas rojas, 4 bolas azules y 5 bolas verdes. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que:

  1. La bola sea roja.
  2. La bola sea azul.
  3. La bola no sea verde.
  4. La bola sea roja o azul.

Ejercicio 7: Se elige al azar una letra de la palabra "PROBABILIDAD". Calcula la probabilidad de que:

  1. Sea una vocal.
  2. Sea una consonante.
  3. Sea la letra "B".
  4. No sea la letra "A".

Problemas (Nivel Intermedio-Avanzado)

Problema 1: Se lanzan dos dados de seis caras. Calcula la probabilidad de que:

  1. La suma de los dos dados sea 5.
  2. La suma sea menor o igual a 4.
  3. Obtener al menos un 4.
  4. Obtener el mismo número en ambos dados.

Problema 2: En una clase, el 60% de los estudiantes son mujeres. Se elige un estudiante al azar. Si la probabilidad de que sea mujer *y* use lentes es del 20%, ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar *no* use lentes, sabiendo que *sí* es mujer? (Esta pregunta introduce la *idea* de probabilidad condicional, pero se puede resolver con el enfoque clásico).

Problema 3: Se tienen dos urnas. La urna A contiene 3 bolas rojas y 2 bolas blancas. La urna B contiene 1 bola roja y 4 bolas blancas.

  1. Se elige una urna al azar y se extrae una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea roja?
  2. Si se extraen 2 bolas de la urna A (sin reemplazo), ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas?

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