Primero calculamos la probabilidad de tener la enfermedad y dar positivo:

\[ P(X\cap T)=P(T\mid X)\cdot P(X)=0{,}95\cdot 0{,}1=0{,}095 \]

Ahora calculamos el complemento de \(X\):

\[ P(X^c)=1-P(X)=1-0{,}1=0{,}9 \]

Como:

\[ P(T^c\mid X^c)=0{,}90 \]

entonces:

\[ P(T\mid X^c)=1-P(T^c\mid X^c)=1-0{,}90=0{,}10 \]

Por lo tanto:

\[ P(X^c\cap T)=P(T\mid X^c)\cdot P(X^c)=0{,}10\cdot 0{,}9=0{,}09 \]

Calculamos la probabilidad total de obtener positivo:

\[ P(T)=P(X\cap T)+P(X^c\cap T) \]

\[ P(T)=0{,}095+0{,}09=0{,}185 \]

Finalmente:

\[ P(X\mid T)=\frac{P(X\cap T)}{P(T)} \]

\[ P(X\mid T)=\frac{0{,}095}{0{,}185}\approx 0{,}5135 \]

Entonces:

\[ P(X\mid T)\approx 51{,}35\% \]

Conclusión: al aumentar la prevalencia de la enfermedad del \(1\%\) al \(10\%\), la probabilidad de tener la enfermedad dado un resultado positivo aumenta considerablemente, desde aproximadamente \(8{,}76\%\) hasta aproximadamente \(51{,}35\%\). Esto muestra la importancia de la prevalencia al interpretar pruebas diagnósticas.

Definimos los eventos:

• \(A\): cliente de alto riesgo.
• \(B\): cliente de bajo riesgo.
• \(C\): tener un accidente.

Los datos son:

\[ P(A)=0{,}3 \qquad P(B)=0{,}7 \]

\[ P(C\mid A)=0{,}1 \qquad P(C\mid B)=0{,}02 \]

Primero calculamos la probabilidad total de tener un accidente:

\[ P(C)=P(C\mid A)P(A)+P(C\mid B)P(B) \]

\[ P(C)=0{,}1\cdot 0{,}3+0{,}02\cdot 0{,}7 \]

\[ P(C)=0{,}03+0{,}014=0{,}044 \]

Entonces:

\[ P(C^c)=1-P(C)=1-0{,}044=0{,}956 \]

1. Se pide \(P(A\mid C^c)\). Calculamos:

   \[ P(C^c\mid A)=1-P(C\mid A)=1-0{,}1=0{,}9 \]

   Luego:

   \[ P(A\cap C^c)=P(C^c\mid A)P(A)=0{,}9\cdot 0{,}3=0{,}27 \]

   Aplicamos probabilidad condicional:

   \[ P(A\mid C^c)=\frac{P(A\cap C^c)}{P(C^c)} \]

   \[ P(A\mid C^c)=\frac{0{,}27}{0{,}956}\approx 0{,}2824 \]

   La probabilidad es aproximadamente \(28{,}24\%\).

2. Se pide \(P(B\mid C)\). Calculamos:

   \[ P(B\cap C)=P(C\mid B)P(B)=0{,}02\cdot 0{,}7=0{,}014 \]

   Entonces:

   \[ P(B\mid C)=\frac{P(B\cap C)}{P(C)} \]

   \[ P(B\mid C)=\frac{0{,}014}{0{,}044}\approx 0{,}3182 \]

   La probabilidad es aproximadamente \(31{,}82\%\).

La respuesta correcta es que conviene cambiar de puerta. Cambiar aumenta la probabilidad de ganar de \(\frac{1}{3}\) a \(\frac{2}{3}\).

Inicialmente, la probabilidad de elegir la puerta correcta es:

\[ \frac{1}{3} \]

y la probabilidad de elegir una puerta incorrecta es:

\[ \frac{2}{3} \]

Cuando el presentador abre una puerta con una cabra, no lo hace al azar sin información: él sabe dónde está el coche. Por eso, su acción entrega información.

• Si al comienzo elegiste la puerta correcta, lo que ocurre con probabilidad \(\frac{1}{3}\), cambiar te hace perder.
• Si al comienzo elegiste una puerta incorrecta, lo que ocurre con probabilidad \(\frac{2}{3}\), cambiar te hace ganar.

Por lo tanto:

\[ P(\text{ganar si mantienes})=\frac{1}{3} \]

\[ P(\text{ganar si cambias})=\frac{2}{3} \]

Así, cambiar de puerta aumenta la probabilidad de ganar el coche.

Una formalización condicional puede hacerse así. Sea:

• \(C_i\): el coche está detrás de la puerta \(i\).
• \(A\): el presentador abre la Puerta 3 y muestra una cabra.

Si elegiste inicialmente la Puerta 1, entonces:

\[ P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\frac{1}{3} \]

Además:

\[ P(A\mid C_1)=\frac{1}{2} \]

\[ P(A\mid C_2)=1 \]

\[ P(A\mid C_3)=0 \]

Calculamos \(P(A)\):

\[ P(A)=P(A\mid C_1)P(C_1)+P(A\mid C_2)P(C_2)+P(A\mid C_3)P(C_3) \]

\[ P(A)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}+1\cdot \frac{1}{3}+0\cdot \frac{1}{3} \]

\[ P(A)=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2} \]

Luego:

\[ P(C_1\mid A)=\frac{P(A\mid C_1)P(C_1)}{P(A)} \]

\[ P(C_1\mid A)=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3} \]

Y:

\[ P(C_2\mid A)=\frac{P(A\mid C_2)P(C_2)}{P(A)} \]

\[ P(C_2\mid A)=\frac{1\cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3} \]

Por lo tanto, la probabilidad de ganar si cambias es \(\frac{2}{3}\), mientras que la probabilidad de ganar si mantienes la elección original es \(\frac{1}{3}\).