Ecuaciones Logaritmicas
4. Nivel 2: Aplicación de Propiedades
Ecuaciones logarítmicas – Nivel 2: aplicación de propiedades
Inicio
En este nivel, las ecuaciones contienen más de un término logarítmico. Para resolverlas, primero debemos usar las propiedades de los logaritmos para combinar estos términos en un solo logaritmo.
Propiedades de los logaritmos
El objetivo es usar estas reglas para simplificar la ecuación. Generalmente, conviene combinar varios logaritmos en uno solo.
- Suma a producto: \[ \log_b(A)+\log_b(B)=\log_b(A\cdot B) \]
- Resta a cociente: \[ \log_b(A)-\log_b(B)=\log_b\left(\frac{A}{B}\right) \]
- Coeficiente a potencia: \[ n\cdot \log_b(A)=\log_b(A^n) \]
Procedimiento
- Usa las propiedades para combinar los términos logarítmicos.
- Resuelve la ecuación simplificada, usando definición o igualación de argumentos.
- Verifica las soluciones en la ecuación original.
- Descarta cualquier valor que haga que algún argumento sea menor o igual que \(0\).
Verificar no es opcional
Al usar propiedades como \(\log(A)+\log(B)=\log(A\cdot B)\), pueden aparecer soluciones que sirven para la ecuación transformada, pero no para la ecuación original.
Por eso, siempre se deben comprobar los argumentos de los logaritmos en la ecuación inicial.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo A: suma de logaritmos
Resuelve:
\[ \log_2(x)+\log_2(x-2)=3 \]
Primero, establecemos las restricciones:
\[ x>0 \qquad\text{y}\qquad x-2>0 \]
Por lo tanto:
\[ x>2 \]
Combinamos los logaritmos usando la propiedad de la suma:
\[ \log_2(x(x-2))=3 \]
\[ \log_2(x^2-2x)=3 \]
Aplicamos la definición de logaritmo:
\[ x^2-2x=2^3 \]
\[ x^2-2x=8 \]
\[ x^2-2x-8=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-4)(x+2)=0 \]
Entonces:
\[ x=4 \qquad\text{o}\qquad x=-2 \]
Verificamos con la restricción \(x>2\):
- \(x=4\) es válido.
- \(x=-2\) no es válido, porque genera argumentos negativos.
La única solución es \(x=4\).
Propiedad de igualación
Si se tiene un solo logaritmo de la misma base a cada lado, entonces se pueden igualar los argumentos:
\[ \log_b(A)=\log_b(B) \quad\Longrightarrow\quad A=B \]
Esto se usa siempre verificando que los argumentos originales sean positivos.
Ejemplo B: resta e igualación
Resuelve:
\[ \log(x+6)-\log(x)=\log(5) \]
Primero, establecemos las restricciones:
\[ x+6>0 \qquad\text{y}\qquad x>0 \]
La condición más restrictiva es:
\[ x>0 \]
Combinamos usando la propiedad de la resta:
\[ \log\left(\frac{x+6}{x}\right)=\log(5) \]
Como hay un logaritmo de la misma base a cada lado, igualamos argumentos:
\[ \frac{x+6}{x}=5 \]
Resolvemos:
\[ x+6=5x \]
\[ 6=4x \]
\[ x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \]
Verificamos:
\[ \frac{3}{2}>0 \]
\[ \frac{3}{2}+6=\frac{15}{2}>0 \]
La solución es \(x=\frac{3}{2}\).
Ejercicios propuestos
Ejercicio 11
Resuelve \(\log(x)+\log(3)=\log(6)\).
Restricción inicial:
\[ x>0 \]
Combinamos los logaritmos del lado izquierdo:
\[ \log(3x)=\log(6) \]
Igualamos argumentos:
\[ 3x=6 \]
\[ x=2 \]
Como \(2>0\), la solución cumple la restricción.
La solución es \(x=2\).
Ejercicio 12
Resuelve \(\ln(x+1)-\ln(x)=\ln(2)\).
Restricciones:
\[ x+1>0 \qquad\text{y}\qquad x>0 \]
Por lo tanto:
\[ x>0 \]
Aplicamos la propiedad de la resta:
\[ \ln\left(\frac{x+1}{x}\right)=\ln(2) \]
Igualamos argumentos:
\[ \frac{x+1}{x}=2 \]
\[ x+1=2x \]
\[ x=1 \]
Como \(1>0\), la solución es válida.
La solución es \(x=1\).
Ejercicio 13
Resuelve \(2\log(x)=\log(25)\).
Restricción inicial:
\[ x>0 \]
Usamos la propiedad del coeficiente:
\[ 2\log(x)=\log(x^2) \]
Entonces:
\[ \log(x^2)=\log(25) \]
Igualamos argumentos:
\[ x^2=25 \]
\[ x=5 \qquad\text{o}\qquad x=-5 \]
Como el argumento original es \(x\), debe cumplirse \(x>0\).
Se descarta \(x=-5\). La solución es \(x=5\).
Ejercicio 14
Resuelve \(\log_4(x)+\log_4(x-6)=2\).
Restricciones:
\[ x>0 \qquad\text{y}\qquad x-6>0 \]
Por lo tanto:
\[ x>6 \]
Combinamos los logaritmos:
\[ \log_4(x(x-6))=2 \]
\[ \log_4(x^2-6x)=2 \]
Aplicamos definición:
\[ x^2-6x=4^2 \]
\[ x^2-6x=16 \]
\[ x^2-6x-16=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-8)(x+2)=0 \]
\[ x=8 \qquad\text{o}\qquad x=-2 \]
Verificamos con \(x>6\).
Se descarta \(x=-2\). La solución es \(x=8\).
Ejercicio 15
Resuelve \(\log_6(2x-3)=\log_6(12)-\log_6(3)\).
Restricción inicial:
\[ 2x-3>0 \]
\[ x>\frac{3}{2} \]
Combinamos los logaritmos del lado derecho:
\[ \log_6(12)-\log_6(3)=\log_6\left(\frac{12}{3}\right) \]
\[ \log_6(2x-3)=\log_6(4) \]
Igualamos argumentos:
\[ 2x-3=4 \]
\[ 2x=7 \]
\[ x=\frac{7}{2} \]
Como \(\frac{7}{2}>\frac{3}{2}\), la solución es válida.
La solución es \(x=\frac{7}{2}\).
Ejercicio 16
Resuelve \(3\ln(x)=\ln(8)\).
Restricción inicial:
\[ x>0 \]
Usamos la propiedad del coeficiente:
\[ 3\ln(x)=\ln(x^3) \]
Entonces:
\[ \ln(x^3)=\ln(8) \]
Igualamos argumentos:
\[ x^3=8 \]
\[ x=2 \]
Como \(2>0\), la solución es válida.
La solución es \(x=2\).
Ejercicio 17
Resuelve \(\log(x+21)+\log(x)=2\).
Como \(\log\) sin base escrita corresponde a base \(10\), se tiene:
\[ 2=\log(100) \]
Restricciones:
\[ x+21>0 \qquad\text{y}\qquad x>0 \]
Por lo tanto:
\[ x>0 \]
Combinamos:
\[ \log(x(x+21))=2 \]
Aplicamos definición:
\[ x(x+21)=10^2 \]
\[ x^2+21x=100 \]
\[ x^2+21x-100=0 \]
Factorizamos:
\[ (x+25)(x-4)=0 \]
\[ x=-25 \qquad\text{o}\qquad x=4 \]
Verificamos con \(x>0\).
Se descarta \(x=-25\). La solución es \(x=4\).
Ejercicio 18
Resuelve \(\log_2(x^2)-\log_2(x-2)=3\).
Restricciones:
\[ x^2>0 \qquad\text{y}\qquad x-2>0 \]
Por lo tanto:
\[ x>2 \]
Aplicamos la propiedad de la resta:
\[ \log_2\left(\frac{x^2}{x-2}\right)=3 \]
Aplicamos la definición:
\[ \frac{x^2}{x-2}=2^3 \]
\[ \frac{x^2}{x-2}=8 \]
\[ x^2=8(x-2) \]
\[ x^2=8x-16 \]
\[ x^2-8x+16=0 \]
\[ (x-4)^2=0 \]
\[ x=4 \]
Como \(4>2\), la solución es válida.
La solución es \(x=4\).
Ejercicio 19
Resuelve \(\log_5(x+1)+\log_5(x-3)=1\).
Restricciones:
\[ x+1>0 \qquad\text{y}\qquad x-3>0 \]
Por lo tanto:
\[ x>3 \]
Combinamos los logaritmos:
\[ \log_5((x+1)(x-3))=1 \]
Aplicamos definición:
\[ (x+1)(x-3)=5^1 \]
\[ x^2-2x-3=5 \]
\[ x^2-2x-8=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-4)(x+2)=0 \]
\[ x=4 \qquad\text{o}\qquad x=-2 \]
Verificamos con \(x>3\).
Se descarta \(x=-2\). La solución es \(x=4\).
Ejercicio 20
Resuelve \(\dfrac{\log(x^3)}{\log(x)}=3\).
Primero revisamos las restricciones.
Para que \(\log(x^3)\) y \(\log(x)\) existan, debe cumplirse:
\[ x>0 \]
Además, como \(\log(x)\) está en el denominador, no puede ser cero:
\[ \log(x)\neq 0 \]
Esto implica:
\[ x\neq 1 \]
Usamos la propiedad de la potencia:
\[ \log(x^3)=3\log(x) \]
Entonces:
\[ \frac{\log(x^3)}{\log(x)} = \frac{3\log(x)}{\log(x)} \]
Como \(\log(x)\neq 0\), se puede simplificar:
\[ \frac{3\log(x)}{\log(x)}=3 \]
La ecuación se cumple para todo \(x>0\), con \(x\neq 1\).