1. Nivel 1: Definición y Ecuaciones Básicas

Ecuaciones Logarítmicas – Nivel 1: Definición y Ecuaciones Básicas

¡Bienvenido/a a la unidad de ecuaciones logarítmicas! En este primer nivel, abordaremos el tipo más fundamental de ecuación, donde la clave para resolverla es entender y aplicar la definición de logaritmo.

💡 La Definición Clave (El Círculo del Logaritmo)

Un logaritmo es simplemente la operación inversa a una potencia. La expresión \(\log_b(y) = x\) es exactamente lo mismo que decir \(b^x = y\).

Un truco para recordarlo es "el círculo": La base elevada al resultado es igual al argumento.
\(\log_{\color{blue}{b}}({\color{red}{y}}) = {\color{green}{x}} \iff {\color{blue}{b}}^{\color{green}{x}} = {\color{red}{y}}\)

📐 Procedimiento
  1. Identifica la base, el argumento y el resultado del logaritmo.
  2. Aplica la definición para reescribir la ecuación en su forma exponencial.
  3. Resuelve la ecuación resultante para encontrar el valor de \(x\).
⚠️ Restricciones del Logaritmo

Recuerda que en \(\log_b(y)\), la base \(b\) y el argumento \(y\) tienen reglas:

  • La base \(b\) debe ser siempre positiva y distinta de 1 (\(b > 0, b \neq 1\)).
  • El argumento \(y\) debe ser siempre positivo (\(y > 0\)).

¡Ten esto en cuenta al resolver ecuaciones, sobre todo si la \(x\) está en la base o en el argumento!

Ejemplos resueltos paso a paso

🧪 Ejemplo A: \(\log_2(x) = 5\)
1. Aplicar definición: La base (2) elevada al resultado (5) es igual al argumento (\(x\)).
\(2^5 = x\)

2. Calcular:
\(x = 32\)
🧪 Ejemplo B: \(\log_x(49) = 2\)
1. Aplicar definición:
\(x^2 = 49\)

2. Calcular:
\(x = \pm\sqrt{49} \;\Rightarrow\; x = 7 \text{ o } x = -7\)

3. Aplicar restricciones:
Como la base de un logaritmo (\(x\)) debe ser positiva y distinta de 1, descartamos la solución \(x = -7\).
Por lo tanto, la única solución válida es \(x = 7\).
🧪 Ejemplo C: \(\log_3(2x+1) = 4\)
1. Aplicar definición:
\(3^4 = 2x+1\)

2. Calcular y despejar:
\(81 = 2x+1\)
\(80 = 2x\)
\(x = 40\)

Ejercicios propuestos

Pulsa el botón al lado del enunciado para mostrar u ocultar la solución.

1. \(\log_4(x) = 3\)
2. \(\log_5(x) = 2\)
3. \(\log_x(100) = 2\)
4. \(\log_{10}(x+1) = 3\)
5. \(\log_2(32) = x\)
6. \(\log_x(81) = 4\)
7. \(\log_7(x) = 1\)
8. \(\log_3(2x-1) = 2\)
9. \(\log_x(64) = 3\)
10. \(\log(x) = -2\)