Ecuaciones Logaritmicas
1. Restricciones antes de resolver ecuaciones logarítmicas
Objetivos
- Determinar restricciones de dominio antes de resolver una ecuación logarítmica.
- Reconocer por qué pueden aparecer soluciones extrañas.
- Verificar soluciones en el contexto original de la ecuación.
Primero el dominio
En una ecuación logarítmica, cada argumento de logaritmo debe ser positivo. Por eso conviene escribir las restricciones antes de aplicar propiedades o transformar la ecuación.
Regla de trabajo
- Identifica cada argumento logarítmico.
- Exige que cada argumento sea positivo.
- Resuelve la ecuación.
- Verifica que las soluciones cumplan las restricciones.
Ejemplo 1: restricción simple
Resuelve \(\log(x-2)=1\).
Restricción:
\[ x-2>0 \Rightarrow x>2 \]
Resolución:
\[ \log(x-2)=1 \Rightarrow x-2=10^1 \]
\[ x=12 \]
Como \(12>2\), la solución es válida.
Ejemplo 2: una solución que se descarta
Considera la ecuación \(\log(x-1)+\log(x+2)=\log(4)\).
Restricciones:
\[ x-1>0 \Rightarrow x>1 \]
\[ x+2>0 \Rightarrow x>-2 \]
Ambas se resumen en \(x>1\).
Usando propiedades:
\[ \log((x-1)(x+2))=\log(4) \]
\[ (x-1)(x+2)=4 \]
\[ x^2+x-2=4 \]
\[ x^2+x-6=0 \]
\[ (x+3)(x-2)=0 \]
Las posibles soluciones son \(x=-3\) y \(x=2\). Pero solo \(x=2\) cumple \(x>1\). Por lo tanto, la solución válida es \(x=2\).
Ejercicio 1
Escribe la restricción de \(\log(x+7)=2\) y resuelve.
Restricción:
\[ x+7>0 \Rightarrow x>-7 \]
Resolución:
\[ x+7=10^2=100 \]
\[ x=93 \]
Como \(93>-7\), la solución es válida.
Ejercicio 2
Determina las restricciones de \(\log(x-4)+\log(x+1)=2\).
Se requiere:
\[ x-4>0 \Rightarrow x>4 \]
\[ x+1>0 \Rightarrow x>-1 \]
Ambas condiciones se resumen en \(x>4\).
Ejercicio 3
Resuelve \(\log(x)=\log(2x-3)\), indicando la restricción.
Restricciones:
\[ x>0,\qquad 2x-3>0 \Rightarrow x>\frac{3}{2} \]
Entonces \(x>\frac{3}{2}\).
Como los logaritmos tienen la misma base:
\[ x=2x-3 \]
\[ x=3 \]
Como \(3>\frac{3}{2}\), la solución es válida.
Ejercicio 4
Explica por qué no basta resolver algebraicamente una ecuación logarítmica sin verificar.
Porque al aplicar propiedades o transformar la ecuación pueden aparecer valores que no pertenecen al dominio original. Si algún argumento queda en cero o negativo, la solución debe descartarse.
Atención
Las propiedades de logaritmos solo se aplican cuando los argumentos involucrados son positivos. La restricción no es un detalle final: es parte de la ecuación original.