Ecuaciones Logaritmicas
6. Nivel 4: Verificación y Soluciones Extrañas
Ecuaciones logarítmicas – Nivel 4: verificación y soluciones extrañas
Verificación y soluciones extrañas
Has llegado al último nivel y al paso más crucial en la resolución de ecuaciones logarítmicas: la verificación. A veces, al resolver una ecuación, obtenemos soluciones que son algebraicamente correctas, pero que no son válidas en el contexto de la ecuación original. A estas se les llama soluciones extrañas.
La regla de oro: dominio del logaritmo
La regla fundamental que causa la aparición de soluciones extrañas es esta: el argumento de un logaritmo siempre debe ser positivo.
En \(\log_b(P)\), se debe cumplir:
Por esta razón, verificar las soluciones no es opcional: es una parte obligatoria del proceso.
Procedimiento final
- Resuelve la ecuación logarítmica usando las técnicas de los niveles anteriores.
- Sustituye cada solución encontrada en la ecuación original.
- Comprueba que los argumentos de todos los logaritmos sean positivos.
- Descarta cualquier solución que haga que un argumento sea cero o negativo.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo A: una solución válida y una extraña
Resuelve:
\[ \log(x-3)+\log(x)=\log(4) \]
Primero, combinamos los logaritmos del lado izquierdo:
\[ \log(x(x-3))=\log(4) \]
Igualamos argumentos:
\[ x(x-3)=4 \]
\[ x^2-3x=4 \]
\[ x^2-3x-4=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-4)(x+1)=0 \]
\[ x=4 \qquad\text{o}\qquad x=-1 \]
Verificamos en la ecuación original:
- Para \(x=4\): \(x-3=1>0\) y \(x=4>0\). Es válida.
- Para \(x=-1\): \(x-3=-4<0\). No es válida.
La única solución válida es \(x=4\).
Ejemplo B: dos soluciones válidas
Resuelve:
\[ \log(x^2+8)=\log(6x) \]
Igualamos argumentos:
\[ x^2+8=6x \]
\[ x^2-6x+8=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-2)(x-4)=0 \]
\[ x=2 \qquad\text{o}\qquad x=4 \]
Verificamos en la ecuación original:
- Para \(x=2\): \(x^2+8=12>0\) y \(6x=12>0\).
- Para \(x=4\): \(x^2+8=24>0\) y \(6x=24>0\).
Ambas soluciones, \(x=2\) y \(x=4\), son válidas.
Ejemplo C: sin solución
Resuelve:
\[ \log(x)=\log(-x-2) \]
Igualamos argumentos:
\[ x=-x-2 \]
\[ 2x=-2 \]
\[ x=-1 \]
Verificamos en la ecuación original:
Para \(x=-1\), el argumento del primer logaritmo es:
\[ x=-1<0 \]
Por lo tanto, \(\log(-1)\) no está definido en los números reales.
Como la única solución algebraica es extraña, la ecuación no tiene solución.
Verificación en contextos reales
Este proceso de descartar soluciones se parece a un chequeo de coherencia en ciencias o ingeniería. Un cálculo puede entregar dos respuestas, pero no todas tienen sentido dentro del contexto del problema.
En ecuaciones logarítmicas, el dominio cumple ese papel: solo se aceptan valores que dejan todos los argumentos positivos.
Ejercicios propuestos
Ejercicio 41
Resuelve \(\log_2(x)+\log_2(x-4)=5\).
Restricciones:
\[ x>0 \qquad\text{y}\qquad x-4>0 \]
Por lo tanto, \(x>4\).
Combinamos:
\[ \log_2(x(x-4))=5 \]
Aplicamos definición:
\[ x(x-4)=2^5 \]
\[ x^2-4x=32 \]
\[ x^2-4x-32=0 \]
\[ (x-8)(x+4)=0 \]
\[ x=8 \qquad\text{o}\qquad x=-4 \]
Verificamos con \(x>4\).
Se descarta \(x=-4\). La solución válida es \(x=8\).
Ejercicio 42
Resuelve \(\ln(x-1)+\ln(x+2)=\ln(4)\).
Restricciones:
\[ x-1>0 \qquad\text{y}\qquad x+2>0 \]
Por lo tanto, \(x>1\).
Combinamos:
\[ \ln((x-1)(x+2))=\ln(4) \]
Igualamos argumentos:
\[ (x-1)(x+2)=4 \]
\[ x^2+x-2=4 \]
\[ x^2+x-6=0 \]
\[ (x+3)(x-2)=0 \]
\[ x=-3 \qquad\text{o}\qquad x=2 \]
Verificamos con \(x>1\).
Se descarta \(x=-3\). La solución válida es \(x=2\).
Ejercicio 43
Resuelve \(\log_3(x+5)-\log_3(x-1)=1\).
Restricciones:
\[ x+5>0 \qquad\text{y}\qquad x-1>0 \]
Por lo tanto, \(x>1\).
Combinamos usando la propiedad del cociente:
\[ \log_3\left(\frac{x+5}{x-1}\right)=1 \]
Aplicamos definición:
\[ \frac{x+5}{x-1}=3 \]
\[ x+5=3x-3 \]
\[ 8=2x \]
\[ x=4 \]
Como \(4>1\), la solución es válida.
La solución es \(x=4\).
Ejercicio 44
Resuelve \(2\log(x)=\log(2x+8)\).
Restricciones:
\[ x>0 \qquad\text{y}\qquad 2x+8>0 \]
La condición principal es \(x>0\).
Usamos la propiedad del coeficiente:
\[ 2\log(x)=\log(x^2) \]
Entonces:
\[ \log(x^2)=\log(2x+8) \]
Igualamos argumentos:
\[ x^2=2x+8 \]
\[ x^2-2x-8=0 \]
\[ (x-4)(x+2)=0 \]
\[ x=4 \qquad\text{o}\qquad x=-2 \]
Verificamos con \(x>0\).
Se descarta \(x=-2\). La solución válida es \(x=4\).
Ejercicio 45
Resuelve \(\log_6(x+4)+\log_6(x-1)=2\).
Restricciones:
\[ x+4>0 \qquad\text{y}\qquad x-1>0 \]
Por lo tanto, \(x>1\).
Combinamos:
\[ \log_6((x+4)(x-1))=2 \]
Aplicamos definición:
\[ (x+4)(x-1)=6^2 \]
\[ x^2+3x-4=36 \]
\[ x^2+3x-40=0 \]
\[ (x+8)(x-5)=0 \]
\[ x=-8 \qquad\text{o}\qquad x=5 \]
Verificamos con \(x>1\).
Se descarta \(x=-8\). La solución válida es \(x=5\).
Ejercicio 46
Resuelve \(\log_4(x)=1-\log_4(x-3)\).
Restricciones:
\[ x>0 \qquad\text{y}\qquad x-3>0 \]
Por lo tanto, \(x>3\).
Sumamos \(\log_4(x-3)\) a ambos lados:
\[ \log_4(x)+\log_4(x-3)=1 \]
Combinamos:
\[ \log_4(x(x-3))=1 \]
Aplicamos definición:
\[ x(x-3)=4^1 \]
\[ x^2-3x=4 \]
\[ x^2-3x-4=0 \]
\[ (x-4)(x+1)=0 \]
\[ x=4 \qquad\text{o}\qquad x=-1 \]
Verificamos con \(x>3\).
Se descarta \(x=-1\). La solución válida es \(x=4\).
Ejercicio 47
Resuelve \(\ln(x)+\ln(x-2)=\ln(3)\).
Restricciones:
\[ x>0 \qquad\text{y}\qquad x-2>0 \]
Por lo tanto, \(x>2\).
Combinamos:
\[ \ln(x(x-2))=\ln(3) \]
Igualamos argumentos:
\[ x(x-2)=3 \]
\[ x^2-2x=3 \]
\[ x^2-2x-3=0 \]
\[ (x-3)(x+1)=0 \]
\[ x=3 \qquad\text{o}\qquad x=-1 \]
Verificamos con \(x>2\).
Se descarta \(x=-1\). La solución válida es \(x=3\).
Ejercicio 48
Resuelve \(\log_2(x+1)+\log_2(x-1)=3\).
Restricciones:
\[ x+1>0 \qquad\text{y}\qquad x-1>0 \]
Por lo tanto, \(x>1\).
Combinamos:
\[ \log_2((x+1)(x-1))=3 \]
\[ \log_2(x^2-1)=3 \]
Aplicamos definición:
\[ x^2-1=2^3 \]
\[ x^2-1=8 \]
\[ x^2=9 \]
\[ x=3 \qquad\text{o}\qquad x=-3 \]
Verificamos con \(x>1\).
Se descarta \(x=-3\). La solución válida es \(x=3\).
Ejercicio 49
Resuelve \(\log_5(3x+1)=1+\log_5(x-1)\).
Restricciones:
\[ 3x+1>0 \qquad\text{y}\qquad x-1>0 \]
Por lo tanto, \(x>1\).
Escribimos \(1\) como logaritmo en base \(5\):
\[ 1=\log_5(5) \]
Entonces:
\[ \log_5(3x+1)=\log_5(5)+\log_5(x-1) \]
\[ \log_5(3x+1)=\log_5(5(x-1)) \]
Igualamos argumentos:
\[ 3x+1=5(x-1) \]
\[ 3x+1=5x-5 \]
\[ 6=2x \]
\[ x=3 \]
Como \(3>1\), la solución es válida.
La solución es \(x=3\).
Ejercicio 50
Resuelve \(\log(2)-\log(x+1)=\log(x)\).
Restricciones:
\[ x+1>0 \qquad\text{y}\qquad x>0 \]
Por lo tanto, \(x>0\).
Combinamos el lado izquierdo usando la propiedad del cociente:
\[ \log\left(\frac{2}{x+1}\right)=\log(x) \]
Igualamos argumentos:
\[ \frac{2}{x+1}=x \]
\[ 2=x(x+1) \]
\[ 2=x^2+x \]
\[ x^2+x-2=0 \]
\[ (x+2)(x-1)=0 \]
\[ x=-2 \qquad\text{o}\qquad x=1 \]
Verificamos con \(x>0\).
Se descarta \(x=-2\). La solución válida es \(x=1\).