Ecuaciones Logaritmicas
7. Aplicaciones de Ecuaciones Logarítmicas
Aplicaciones y modelado: ecuaciones y escalas logarítmicas
Escalas logarítmicas
Mientras que las funciones exponenciales modelan fenómenos que crecen muy rápido, los logaritmos ayudan a comprimir rangos de valores gigantescos en una escala manejable.
Esto es útil para medir fenómenos como terremotos, sonidos o niveles de acidez, donde los valores reales pueden variar muchísimo.
¿Qué es una escala logarítmica?
Una escala logarítmica no mide directamente el valor de algo, sino su orden de magnitud. Es decir, permite comparar cantidades muy grandes usando potencias de \(10\).
Por eso, un cambio pequeño en la escala puede representar un cambio muy grande en la cantidad real. Por ejemplo, aumentar una unidad en una escala logarítmica de base \(10\) representa multiplicar por \(10\).
Aplicación 1: escala sísmica
La magnitud de un terremoto no crece de forma lineal. En este modelo, un terremoto de magnitud \(7\) no es solo un poco más intenso que uno de magnitud \(6\): es \(10\) veces más intenso en términos de amplitud de onda.
Fórmula clave:
Donde:
- \(M\) es la magnitud en la escala sísmica.
- \(I\) es la intensidad de la onda sísmica medida.
- \(S\) es la intensidad de un sismo estándar de referencia.
Ejemplo 1: comparación de intensidades sísmicas
¿Cuántas veces fue más intenso un terremoto de magnitud \(9{,}5\) que uno de magnitud \(6{,}7\)?
Usamos la relación:
\[ M=\log\left(\frac{I}{S}\right) \]
Para el terremoto de magnitud \(9{,}5\):
\[ I_1=S\cdot 10^{9{,}5} \]
Para el terremoto de magnitud \(6{,}7\):
\[ I_2=S\cdot 10^{6{,}7} \]
Calculamos la razón entre ambas intensidades:
\[ \frac{I_1}{I_2} = \frac{S\cdot 10^{9{,}5}}{S\cdot 10^{6{,}7}} \]
\[ \frac{I_1}{I_2}=10^{9{,}5-6{,}7}=10^{2{,}8} \]
\[ 10^{2{,}8}\approx 631 \]
El terremoto de magnitud \(9{,}5\) fue aproximadamente \(631\) veces más intenso que el de magnitud \(6{,}7\), según este modelo.
Aplicación 2: escala de pH
La escala de pH mide qué tan ácida o básica es una disolución. Un pequeño cambio en el pH significa un gran cambio en la concentración de iones de hidrógeno.
Fórmula clave:
Donde:
- \(pH\) es el valor que mide acidez o basicidad.
- \([H^+]\) es la concentración de iones de hidrógeno, medida en moles por litro.
Ejemplo 2: comparación de acidez
El café tiene \(pH=5\) y el amoníaco tiene \(pH=11\). ¿Cuántas veces mayor es la concentración de \([H^+]\) del café?
Usamos la relación:
\[ pH=-\log[H^+] \]
Entonces:
\[ [H^+]=10^{-pH} \]
Para el café:
\[ [H^+]_C=10^{-5} \]
Para el amoníaco:
\[ [H^+]_A=10^{-11} \]
Calculamos la razón:
\[ \frac{[H^+]_C}{[H^+]_A} = \frac{10^{-5}}{10^{-11}} \]
\[ \frac{[H^+]_C}{[H^+]_A}=10^{6} \]
El café tiene una concentración de \([H^+]\) \(1.000.000\) de veces mayor que el amoníaco.
Aplicación 3: escala de decibelios
La intensidad del sonido también se mide en una escala logarítmica. Un aumento de \(10\) decibelios representa un sonido \(10\) veces más intenso.
Fórmula clave:
Donde:
- \(dB\) es el nivel de sonido en decibelios.
- \(I\) es la intensidad del sonido.
- \(I_0\) es una intensidad de referencia.
Ejemplo 3: comparación de sonidos
Un motor de avión produce \(140\) dB y una conversación normal produce \(60\) dB. ¿Cuántas veces más intenso es el sonido del motor?
Calculamos la diferencia de decibelios:
\[ 140-60=80 \]
Como la fórmula tiene el factor \(10\), planteamos:
\[ 80=10\cdot \log(\text{razón}) \]
Dividimos por \(10\):
\[ 8=\log(\text{razón}) \]
Aplicamos la definición de logaritmo:
\[ \text{razón}=10^8 \]
El sonido del motor es \(100.000.000\) de veces más intenso que el de una conversación normal.
Ejercicios propuestos
Ejercicio 1
Un sismo tiene una intensidad \(500\) veces mayor que la del sismo estándar, es decir, \(I=500S\). ¿Cuál es su magnitud?
Usamos la fórmula:
\[ M=\log\left(\frac{I}{S}\right) \]
Como \(I=500S\), reemplazamos:
\[ M=\log\left(\frac{500S}{S}\right) \]
Simplificamos:
\[ M=\log(500) \]
Calculamos:
\[ \log(500)\approx 2{,}7 \]
La magnitud es aproximadamente \(2{,}7\).
Ejercicio 2
¿Cuántas veces más intenso es un terremoto de magnitud \(7{,}5\) que uno de magnitud \(5{,}5\)?
Calculamos la diferencia entre magnitudes:
\[ 7{,}5-5{,}5=2 \]
En una escala logarítmica de base \(10\), esa diferencia corresponde a:
\[ 10^2=100 \]
El terremoto de magnitud \(7{,}5\) es \(100\) veces más intenso.
Ejercicio 3
La sangre humana tiene un pH de \(7{,}4\). ¿Cuál es la concentración de iones \([H^+]\)?
Usamos:
\[ pH=-\log[H^+] \]
Reemplazamos \(pH=7{,}4\):
\[ 7{,}4=-\log[H^+] \]
Multiplicamos por \(-1\):
\[ \log[H^+]=-7{,}4 \]
Aplicamos la definición de logaritmo:
\[ [H^+]=10^{-7{,}4} \]
Calculamos una aproximación:
\[ [H^+]\approx 3{,}98\times 10^{-8} \]
La concentración es aproximadamente \(3{,}98\times 10^{-8}\) M.
Ejercicio 4
El jugo de naranja tiene una concentración de \([H^+]\) de \(10^{-3{,}5}\) M. ¿Cuál es su pH?
Usamos:
\[ pH=-\log[H^+] \]
Reemplazamos:
\[ pH=-\log(10^{-3{,}5}) \]
Como \(\log(10^{-3{,}5})=-3{,}5\), resulta:
\[ pH=-(-3{,}5) \]
\[ pH=3{,}5 \]
El pH del jugo de naranja es \(3{,}5\).
Ejercicio 5
Una biblioteca tiene \(40\) dB y una calle con tráfico tiene \(80\) dB. ¿Cuántas veces es más intenso el sonido de la calle?
Calculamos la diferencia:
\[ 80-40=40 \]
Planteamos:
\[ 40=10\log(\text{razón}) \]
Dividimos por \(10\):
\[ 4=\log(\text{razón}) \]
Aplicamos la definición:
\[ \text{razón}=10^4 \]
\[ 10^4=10.000 \]
El sonido de la calle es \(10.000\) veces más intenso.
Ejercicio 6
Si un sismo es \(25.000\) veces más intenso que el de referencia, ¿cuál es su magnitud?
Usamos:
\[ M=\log\left(\frac{I}{S}\right) \]
Si la intensidad es \(25.000\) veces la referencia, entonces:
\[ \frac{I}{S}=25000 \]
Por lo tanto:
\[ M=\log(25000) \]
Calculamos:
\[ M\approx 4{,}4 \]
La magnitud es aproximadamente \(4{,}4\).
Ejercicio 7
Una sustancia A tiene pH \(3\) y una sustancia B tiene pH \(6\). ¿Cuántas veces es más ácida la sustancia A?
La concentración de \([H^+]\) se calcula como:
\[ [H^+]=10^{-pH} \]
Para la sustancia A:
\[ [H^+]_A=10^{-3} \]
Para la sustancia B:
\[ [H^+]_B=10^{-6} \]
Calculamos la razón:
\[ \frac{[H^+]_A}{[H^+]_B} = \frac{10^{-3}}{10^{-6}} \]
\[ \frac{[H^+]_A}{[H^+]_B}=10^3=1000 \]
La sustancia A es \(1000\) veces más ácida que la sustancia B.
Ejercicio 8
El umbral del dolor por sonido es de \(130\) dB. Si \(I_0=10^{-12}\,\text{W/m}^2\), ¿cuál es la intensidad del sonido?
Usamos:
\[ dB=10\log\left(\frac{I}{I_0}\right) \]
Reemplazamos:
\[ 130=10\log\left(\frac{I}{10^{-12}}\right) \]
Dividimos por \(10\):
\[ 13=\log\left(\frac{I}{10^{-12}}\right) \]
Aplicamos la definición de logaritmo:
\[ 10^{13}=\frac{I}{10^{-12}} \]
Multiplicamos por \(10^{-12}\):
\[ I=10^{13}\cdot 10^{-12} \]
\[ I=10^1=10 \]
La intensidad del sonido es \(10\,\text{W/m}^2\).
Ejercicio 9
Un terremoto de magnitud \(7{,}9\) se compara con otro de magnitud \(6{,}0\). ¿Cuántas veces más intenso fue el primero?
Calculamos la diferencia de magnitudes:
\[ 7{,}9-6{,}0=1{,}9 \]
La razón de intensidades es:
\[ 10^{1{,}9} \]
Calculamos:
\[ 10^{1{,}9}\approx 79{,}4 \]
El primero fue aproximadamente \(79{,}4\) veces más intenso.
Ejercicio 10
Si la lluvia ácida tiene un pH de \(4{,}5\), ¿cuál es su concentración de \([H^+]\)?
Usamos la fórmula:
\[ pH=-\log[H^+] \]
Reemplazamos \(pH=4{,}5\):
\[ 4{,}5=-\log[H^+] \]
Entonces:
\[ \log[H^+]=-4{,}5 \]
Aplicamos la definición de logaritmo:
\[ [H^+]=10^{-4{,}5} \]
Calculamos:
\[ [H^+]\approx 3{,}16\times 10^{-5} \]
La concentración es aproximadamente \(3{,}16\times 10^{-5}\) M.