La Función Exponencial
5. Ejercicios de Selección Múltiple - Función Exponencial
Ejercicios de selección múltiple - Función exponencial
Instrucciones
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Estrategia para resolver
Para cada pregunta, identifica primero el concepto clave que se está evaluando:
- Crecimiento vs. decrecimiento: observa la base \(b\). Si \(b>1\), es crecimiento. Si \(0<b<1\), es decrecimiento.
- Parámetros clave: recuerda la forma \[ f(x)=a\cdot b^x \] donde \(a\) es el valor inicial y \(b\) es el factor de cambio.
- Resolver ecuaciones: intenta igualar las bases. Si \(b^P=b^Q\), entonces se pueden igualar los exponentes: \(P=Q\).
Ejercicio 1
¿Cuál de las siguientes funciones representa un crecimiento exponencial?
- \(f(x)=100-2x\)
- \(f(x)=5\cdot (0{,}8)^x\)
- \(f(x)=2\cdot 3^x\)
- \(f(x)=x^2+1\)
- \(f(x)=\log(x)\)
Una función exponencial de la forma \(f(x)=a\cdot b^x\) representa crecimiento cuando la base cumple \(b>1\).
En \(f(x)=2\cdot 3^x\), la base es \(3\), y como \(3>1\), representa crecimiento exponencial.
Alternativa correcta: c.
Ejercicio 2
¿Cuál de las siguientes funciones representa un decrecimiento exponencial?
- \(f(x)=5x+10\)
- \(f(x)=100\cdot 2^x\)
- \(f(x)=0{,}5\cdot 4^x\)
- \(f(x)=50\cdot (0{,}75)^x\)
- \(f(x)=x^3\)
Una función exponencial representa decrecimiento cuando su base \(b\) cumple:
\[ 0<b<1 \]
En \(f(x)=50\cdot (0{,}75)^x\), la base es \(0{,}75\), que está entre \(0\) y \(1\).
Alternativa correcta: d.
Ejercicio 3
¿Cuál es el valor inicial de la función \(f(x)=10\cdot (1{,}5)^x\)?
- \(10\)
- \(1{,}5\)
- \(x\)
- \(11{,}5\)
- \(15\)
En la forma general:
\[ f(x)=a\cdot b^x \]
el valor inicial es \(a\), ya que:
\[ f(0)=a\cdot b^0=a\cdot 1=a \]
En \(f(x)=10\cdot (1{,}5)^x\), se tiene \(a=10\).
Alternativa correcta: a.
Ejercicio 4
¿Cuál es la base de la función exponencial \(g(x)=200\cdot (0{,}8)^x\)?
- \(200\)
- \(0{,}8\)
- \(x\)
- \(0\)
- \(200{,}8\)
En la forma:
\[ f(x)=a\cdot b^x \]
\(b\) es la base. En \(g(x)=200\cdot (0{,}8)^x\), la base es \(0{,}8\).
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 5
Para la función \(f(x)=3\cdot 4^x\), calcula \(f(2)\).
- \(12\)
- \(36\)
- \(48\)
- \(144\)
- \(7\)
Reemplazamos \(x=2\) en la función:
\[ f(2)=3\cdot 4^2 \]
\[ f(2)=3\cdot 16=48 \]
Alternativa correcta: c.
Ejercicio 6
Para la función \(g(x)=50\cdot (0{,}5)^x\), calcula \(g(3)\).
- \(25\)
- \(12{,}5\)
- \(6{,}25\)
- \(250\)
- \(75\)
Reemplazamos \(x=3\):
\[ g(3)=50\cdot (0{,}5)^3 \]
\[ (0{,}5)^3=0{,}125 \]
\[ g(3)=50\cdot 0{,}125=6{,}25 \]
Alternativa correcta: c.
Ejercicio 7
¿Cuál es la asíntota horizontal de la función \(f(x)=5\cdot 2^x\)?
- \(x=0\)
- \(y=5\)
- \(y=2\)
- \(y=0\)
- \(x=5\)
Una función exponencial básica de la forma \(f(x)=a\cdot b^x\), con \(a>0\), tiene asíntota horizontal en el eje \(X\).
El eje \(X\) corresponde a:
\[ y=0 \]
Alternativa correcta: d.
Ejercicio 8
¿En qué punto la gráfica de \(f(x)=8\cdot 3^x\) intersecta el eje \(Y\)?
- \((8,0)\)
- \((0,8)\)
- \((3,0)\)
- \((0,3)\)
- \((0,0)\)
La intersección con el eje \(Y\) ocurre cuando \(x=0\).
\[ f(0)=8\cdot 3^0 \]
\[ f(0)=8\cdot 1=8 \]
Por lo tanto, el punto de intersección es \((0,8)\).
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 9
Una población de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente hay \(1000\) bacterias, ¿cuál es la función que modela esta situación?
- \(P(t)=1000\cdot t^2\)
- \(P(t)=1000+2t\)
- \(P(t)=1000\cdot 2^t\)
- \(P(t)=2\cdot 1000^t\)
- \(P(t)=1000+2^t\)
El valor inicial es \(1000\), por lo tanto \(a=1000\).
Como la población se duplica cada hora, la base es \(b=2\).
Entonces:
\[ P(t)=1000\cdot 2^t \]
Alternativa correcta: c.
Ejercicio 10
Una sustancia radiactiva se reduce a la mitad cada \(50\) años. Si inicialmente hay \(200\) gramos, ¿cuál es la función que modela la cantidad restante después de \(t\) años?
- \(f(t)=200\cdot (0{,}5)^t\)
- \(f(t)=200\cdot 2^t\)
- \(f(t)=200\cdot (0{,}5)^{\frac{t}{50}}\)
- \(f(t)=200-50t\)
- \(f(t)=200\cdot (0{,}5)^{50t}\)
El valor inicial es \(200\), por lo tanto \(a=200\).
Como se reduce a la mitad, el factor de cambio es:
\[ b=0{,}5 \]
Pero esta reducción ocurre cada \(50\) años, por lo que el número de períodos es \(\frac{t}{50}\).
\[ f(t)=200\cdot (0{,}5)^{\frac{t}{50}} \]
Alternativa correcta: c.
Ejercicio 11
Resuelve la ecuación exponencial \(3^{x+2}=27\).
- \(x=1\)
- \(x=2\)
- \(x=3\)
- \(x=5\)
- \(x=9\)
Escribimos \(27\) como potencia de base \(3\):
\[ 27=3^3 \]
Entonces:
\[ 3^{x+2}=3^3 \]
Igualamos exponentes:
\[ x+2=3 \]
\[ x=1 \]
Alternativa correcta: a.
Ejercicio 12
Resuelve \(2^{2x-1}=8\).
- \(x=1\)
- \(x=2\)
- \(x=3\)
- \(x=4\)
- \(x=0\)
Escribimos \(8\) como potencia de base \(2\):
\[ 8=2^3 \]
Entonces:
\[ 2^{2x-1}=2^3 \]
Igualamos exponentes:
\[ 2x-1=3 \]
\[ 2x=4 \]
\[ x=2 \]
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 13
Resuelve \(5^{x^2}=25\).
- \(x=1\)
- \(x=2\)
- \(x=\pm\sqrt{2}\)
- \(x=-2\)
- No tiene solución.
Escribimos \(25\) como potencia de base \(5\):
\[ 25=5^2 \]
Entonces:
\[ 5^{x^2}=5^2 \]
Igualamos exponentes:
\[ x^2=2 \]
Por lo tanto:
\[ x=\pm\sqrt{2} \]
Alternativa correcta: c.
Ejercicio 14
¿Cuál de las siguientes descripciones corresponde mejor a la gráfica de la función \(f(x)=100\cdot (0{,}9)^x\)?
- Una curva creciente que pasa por \((0,100)\).
- Una curva decreciente que pasa por \((0,100)\).
- Una línea recta decreciente.
- Una curva creciente que pasa por \((0,0{,}9)\).
- Una curva decreciente que pasa por \((0,0{,}9)\).
Como la base es \(0{,}9\), y \(0<0{,}9<1\), la función es decreciente.
Además, la intersección con el eje \(Y\) ocurre cuando \(x=0\):
\[ f(0)=100\cdot (0{,}9)^0=100 \]
Por eso la curva pasa por el punto \((0,100)\).
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 15
Si una población crece un \(5\%\) cada año, ¿cuál es el valor de \(b\) en la función exponencial \(P(t)=P_0\cdot b^t\)?
- \(0{,}05\)
- \(0{,}95\)
- \(1{,}05\)
- \(1{,}5\)
- \(5\)
Crecer un \(5\%\) significa que cada año se conserva el \(100\%\) y se agrega un \(5\%\).
\[ b=1+\frac{5}{100} \]
\[ b=1+0{,}05=1{,}05 \]
Alternativa correcta: c.
Ejercicio 16
¿Cuáles de las siguientes funciones no son funciones exponenciales?
- \(f(x)=2^x\)
- \(g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^x\)
- \(h(x)=x^2\)
- \(y=5\cdot (1{,}1)^x\)
- \(y=1^x\)
En una función exponencial, la variable está en el exponente y la base debe ser positiva y distinta de \(1\).
- \(h(x)=x^2\) no es exponencial, porque la variable está en la base y no en el exponente. Es una función cuadrática.
- \(y=1^x\) no se considera exponencial, porque la base es \(1\). En ese caso, la función sería constante: \(y=1\).
Respuestas correctas: c y e.
Ejercicio 17
La función \(f(x)=100\cdot (1{,}03)^x\) modela el crecimiento de una inversión. ¿Qué representa el número \(1{,}03\)?
- El valor inicial de la inversión.
- El valor de la inversión después de \(1\) año.
- La tasa de crecimiento anual expresada como decimal.
- El factor por el cual se multiplica la inversión cada año.
- La cantidad de años que tarda la inversión en duplicarse.
En la forma \(f(x)=a\cdot b^x\), el número \(b\) es el factor de cambio.
En \(f(x)=100\cdot (1{,}03)^x\), se tiene \(b=1{,}03\), lo que significa que la inversión se multiplica por \(1{,}03\) cada año.
Esto equivale a un crecimiento del \(3\%\) anual.
Alternativa correcta: d.
Ejercicio 18
La función \(f(x)=500\cdot (0{,}95)^x\) modela la cantidad de un medicamento en el cuerpo. ¿Qué porcentaje del medicamento se elimina cada hora?
- \(95\%\)
- \(5\%\)
- \(9{,}5\%\)
- \(0{,}95\%\)
- \(50\%\)
La base \(0{,}95\) indica que queda el \(95\%\) del medicamento cada hora.
Por lo tanto, el porcentaje eliminado es:
\[ 100\%-95\%=5\% \]
Alternativa correcta: b.
Ejercicio 19
¿Cuál es el valor de \(x\) que satisface la ecuación \(2^{2x}=\frac{1}{8}\)?
- \(3\)
- \(-3\)
- \(\frac{3}{2}\)
- \(-\frac{3}{2}\)
- \(\frac{1}{3}\)
Escribimos \(\frac{1}{8}\) como potencia de base \(2\):
\[ \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3} \]
Entonces:
\[ 2^{2x}=2^{-3} \]
Igualamos exponentes:
\[ 2x=-3 \]
\[ x=-\frac{3}{2} \]
Alternativa correcta: d.
Ejercicio 20
Un cultivo de bacterias comienza con \(200\) bacterias y se duplica cada \(2\) horas. ¿Cuántas bacterias habrá después de \(7\) horas?
- \(800\)
- \(1600\)
- Aproximadamente \(2263\)
- Aproximadamente \(1131\)
- \(1400\)
Como el cultivo se duplica cada \(2\) horas, el modelo es:
\[ f(x)=200\cdot 2^{\frac{x}{2}} \]
Evaluamos en \(x=7\):
\[ f(7)=200\cdot 2^{\frac{7}{2}} \]
\[ f(7)=200\cdot 2^{3{,}5} \]
\[ 2^{3{,}5}\approx 11{,}3137 \]
\[ f(7)\approx 200\cdot 11{,}3137=2262{,}74 \]
Alternativa correcta: c. Habrá aproximadamente \(2263\) bacterias.