La Función Logarítmica
3. Introducción a la funcion logaritmica
Introducción a la funcion logaritmica
¿Por qué logaritmos?
La incógnita en el exponente
Hasta ahora, hemos trabajado con funciones exponenciales, donde la variable \(x\) está en el exponente:
\[ f(x)=a\cdot b^x \]
Pero surge una nueva pregunta: ¿qué pasa si la incógnita es el exponente?
El desafío: despejar el exponente
Considera estas preguntas:
- Una población de \(1000\) bacterias se duplica cada hora, según \(P(t)=1000\cdot 2^t\). ¿En cuánto tiempo llegará a \(8000\)?
- Inviertes $100 al \(5\%\) anual. ¿Cuántos años tardarás en duplicar tu dinero?
Para resolver este tipo de preguntas, necesitamos “bajar” la incógnita del exponente. La herramienta para hacerlo es el logaritmo.
Definición de logaritmo
Definición formal de logaritmo
El logaritmo es la operación inversa de la exponenciación.
La expresión exponencial y la logarítmica son equivalentes:
Se lee: “el logaritmo en base \(b\) de \(x\) es igual a \(y\)”.
Condiciones importantes
- La base \(b\) debe ser positiva y distinta de \(1\): \[ b>0,\qquad b\neq 1 \]
- El argumento \(x\) debe ser positivo: \[ x>0 \]
Logaritmos comunes y naturales
Dos logaritmos especiales
- Logaritmo común: es el logaritmo en base \(10\). Si la base no está escrita, se asume que es \(10\). Se denota como \(\log(x)\). Por ejemplo: \[ \log(100)=\log_{10}(100)=2 \]
- Logaritmo natural: es el logaritmo en base \(e\), donde \(e\approx 2{,}718\). Se denota como \(\ln(x)\). Por ejemplo: \[ \ln(e)=\log_e(e)=1 \]
Cálculo mental de logaritmos
El truco para calcular logaritmos simples
Para calcular \(\log_b(x)\), puedes preguntarte:
¿A qué exponente debo elevar la base \(b\) para obtener el argumento \(x\)?
Por ejemplo, para \(\log_4(16)\), preguntamos: ¿\(4\) elevado a qué número da \(16\)? La respuesta es \(2\), porque:
\[ 4^2=16 \]
Entonces:
\[ \log_4(16)=2 \]
Aplicando la definición: ejemplos clave
La mejor forma de entender los logaritmos es ver la definición en acción. Cada ejemplo responde a la pregunta: ¿a qué exponente debo elevar la base para obtener el argumento?
- \(\log_2(8)=3\), porque \(2^3=8\).
- \(\log_{10}(100)=2\), porque \(10^2=100\).
- \(\log_5(25)=2\), porque \(5^2=25\).
- \(\log_3(1)=0\), porque \(3^0=1\).
- \(\log_2\left(\frac{1}{2}\right)=-1\), porque \(2^{-1}=\frac{1}{2}\).
- \(\ln(e^2)=2\), porque \(e^2=e^2\).
Ejercicios de práctica
Ejercicio 1
Escribe las siguientes expresiones exponenciales en forma logarítmica:
- \(2^5=32\)
- \(10^3=1000\)
- \(3^{-2}=\frac{1}{9}\)
- \(16^{\frac{1}{2}}=4\)
Usamos la equivalencia:
\[ b^y=x \quad\Longleftrightarrow\quad \log_b(x)=y \]
- \[ 2^5=32 \quad\Longleftrightarrow\quad \log_2(32)=5 \]
- \[ 10^3=1000 \quad\Longleftrightarrow\quad \log_{10}(1000)=3 \] También se puede escribir \(\log(1000)=3\).
- \[ 3^{-2}=\frac{1}{9} \quad\Longleftrightarrow\quad \log_3\left(\frac{1}{9}\right)=-2 \]
- \[ 16^{\frac{1}{2}}=4 \quad\Longleftrightarrow\quad \log_{16}(4)=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 2
Escribe las siguientes expresiones logarítmicas en forma exponencial:
- \(\log_5(25)=2\)
- \(\log(100)=2\)
- \(\log_2\left(\frac{1}{8}\right)=-3\)
- \(\log_9(3)=\frac{1}{2}\)
Usamos la equivalencia:
\[ \log_b(x)=y \quad\Longleftrightarrow\quad b^y=x \]
- \[ \log_5(25)=2 \quad\Longleftrightarrow\quad 5^2=25 \]
- Como \(\log(100)=\log_{10}(100)\), entonces: \[ \log(100)=2 \quad\Longleftrightarrow\quad 10^2=100 \]
- \[ \log_2\left(\frac{1}{8}\right)=-3 \quad\Longleftrightarrow\quad 2^{-3}=\frac{1}{8} \]
- \[ \log_9(3)=\frac{1}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad 9^{\frac{1}{2}}=3 \]
Ejercicio 3
Calcula los siguientes logaritmos sin calculadora:
- \(\log_2(16)\)
- \(\log_3(9)\)
- \(\log(1000)\)
- \(\log_5(1)\)
- \(\log_4(2)\)
- \(\log_2\left(\frac{1}{4}\right)\)
- \(\ln(e)\)
- \(\ln(e^3)\)
- \[ \log_2(16)=4 \] porque \(2^4=16\).
- \[ \log_3(9)=2 \] porque \(3^2=9\).
- Como \(\log\) sin base escrita es base \(10\): \[ \log(1000)=3 \] porque \(10^3=1000\).
- \[ \log_5(1)=0 \] porque \(5^0=1\).
- \[ \log_4(2)=\frac{1}{2} \] porque \(4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2\).
- \[ \log_2\left(\frac{1}{4}\right)=-2 \] porque \(2^{-2}=\frac{1}{4}\).
- \[ \ln(e)=1 \] porque \(e^1=e\).
- \[ \ln(e^3)=3 \] porque \(e^3=e^3\).
Ejercicio 4
Usa una calculadora para encontrar los siguientes logaritmos. Aproxima a dos decimales cuando sea necesario:
- \(\log(50)\)
- \(\ln(10)\)
- \(\log(0{,}1)\)
- \(\ln(1)\)
- \[ \log(50)\approx 1{,}70 \]
- \[ \ln(10)\approx 2{,}30 \]
- \[ \log(0{,}1)=-1 \] porque \(10^{-1}=0{,}1\).
- \[ \ln(1)=0 \] porque \(e^0=1\).
Ejercicio 5
¿Entre qué dos números enteros consecutivos está \(\log_2(50)\)?
Para ubicar \(\log_2(50)\), buscamos potencias de \(2\) que estén cerca de \(50\).
\[ 2^5=32 \]
\[ 2^6=64 \]
Como \(50\) está entre \(32\) y \(64\), se cumple:
\[ 2^5<50<2^6 \]
Por lo tanto:
\[ 5<\log_2(50)<6 \]
\(\log_2(50)\) está entre \(5\) y \(6\).