Nivelacion - Funciones y Conceptos Clave
2. Potencias y Exponentes
Potencias y exponentes: propiedades y operaciones
¿Qué son las potencias?
Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación repetida de un mismo número, llamado base, por sí mismo. El número de veces que se multiplica la base se llama exponente.
- \(b\): base, el número que se multiplica.
- \(n\): exponente, indica cuántas veces se multiplica la base cuando \(n\) es natural.
Por ejemplo:
\[ 2^3=2\cdot 2\cdot 2=8 \]
Propiedades fundamentales de las potencias
Estas propiedades son esenciales para trabajar con expresiones algebraicas, funciones exponenciales y logarítmicas.
- Producto de potencias de igual base: \[ b^m\cdot b^n=b^{m+n} \]
Ejemplo: \(2^3\cdot 2^2=2^5=32\).
- Cociente de potencias de igual base: \[ \frac{b^m}{b^n}=b^{m-n}, \qquad b\neq 0 \]
Ejemplo: \(\frac{5^4}{5^2}=5^2=25\).
- Potencia de una potencia: \[ (b^m)^n=b^{m\cdot n} \]
Ejemplo: \((3^2)^3=3^6=729\).
- Exponente cero: \[ b^0=1, \qquad b\neq 0 \]
Ejemplo: \(7^0=1\).
- Exponente negativo: \[ b^{-n}=\frac{1}{b^n}, \qquad b\neq 0 \]
Ejemplo: \(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\).
- Exponente fraccionario: \[ b^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{b^m} \]
Ejemplo: \(8^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4\).
- Potencia de un producto: \[ (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n \]
Ejemplo: \((2\cdot 5)^3=2^3\cdot 5^3=1000\).
- Potencia de un cociente: \[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \qquad b\neq 0 \]
Ejemplo: \(\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}\).
Ejercicios
Ejercicio 1
Simplifica \(5^2\cdot 5^3\).
Como las potencias tienen la misma base, sumamos los exponentes:
\[ 5^2\cdot 5^3=5^{2+3}=5^5 \]
\[ 5^5=3125 \]
El resultado es \(3125\).
Ejercicio 2
Simplifica \(\dfrac{7^6}{7^4}\).
Como las potencias tienen igual base, restamos los exponentes:
\[ \frac{7^6}{7^4}=7^{6-4}=7^2 \]
\[ 7^2=49 \]
El resultado es \(49\).
Ejercicio 3
Simplifica \((3^4)^2\).
Aplicamos la propiedad de potencia de una potencia:
\[ (3^4)^2=3^{4\cdot 2}=3^8 \]
\[ 3^8=6561 \]
El resultado es \(6561\).
Ejercicio 4
Calcula \(12^0\).
Todo número distinto de cero elevado a \(0\) es \(1\).
\[ 12^0=1 \]
El resultado es \(1\).
Ejercicio 5
Simplifica \(4^{-2}\).
Un exponente negativo indica el inverso de la potencia:
\[ 4^{-2}=\frac{1}{4^2} \]
\[ 4^{-2}=\frac{1}{16} \]
El resultado es \(\frac{1}{16}\).
Ejercicio 6
Calcula \(25^{\frac{1}{2}}\).
El exponente \(\frac{1}{2}\) representa una raíz cuadrada:
\[ 25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25} \]
\[ \sqrt{25}=5 \]
El resultado es \(5\).
Ejercicio 7
Calcula \(8^{\frac{2}{3}}\).
El denominador \(3\) indica raíz cúbica y el numerador \(2\) indica potencia:
\[ 8^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{8})^2 \]
\[ \sqrt[3]{8}=2 \]
\[ 2^2=4 \]
El resultado es \(4\).
Ejercicio 8
Simplifica \((2x)^3\).
Aplicamos la potencia a cada factor del producto:
\[ (2x)^3=2^3\cdot x^3 \]
\[ 2^3\cdot x^3=8x^3 \]
El resultado es \(8x^3\).
Ejercicio 9
Simplifica \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^2\).
Aplicamos la potencia al numerador y al denominador:
\[ \left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{3^2}{4^2} \]
\[ \frac{3^2}{4^2}=\frac{9}{16} \]
El resultado es \(\frac{9}{16}\).
Ejercicio 10
Simplifica \(\dfrac{x^7}{x^5}\), con \(x\neq 0\).
Como las potencias tienen igual base, restamos los exponentes:
\[ \frac{x^7}{x^5}=x^{7-5} \]
\[ x^{7-5}=x^2 \]
El resultado es \(x^2\).
Ejercicio 11
Simplifica \((a^2b^3)^4\).
Aplicamos la potencia a cada factor:
\[ (a^2b^3)^4=(a^2)^4(b^3)^4 \]
Multiplicamos los exponentes:
\[ a^{2\cdot 4}b^{3\cdot 4}=a^8b^{12} \]
El resultado es \(a^8b^{12}\).
Ejercicio 12
Simplifica \(5^{-3}\).
Usamos la propiedad del exponente negativo:
\[ 5^{-3}=\frac{1}{5^3} \]
\[ 5^3=125 \]
El resultado es \(\frac{1}{125}\).
Ejercicio 13
Simplifica \(\dfrac{x^4y^2}{x^2y^5}\), con \(x\neq 0\) e \(y\neq 0\).
Restamos exponentes de bases iguales:
\[ \frac{x^4y^2}{x^2y^5}=x^{4-2}y^{2-5} \]
\[ x^{4-2}y^{2-5}=x^2y^{-3} \]
Escribimos con exponentes positivos:
\[ x^2y^{-3}=\frac{x^2}{y^3} \]
El resultado es \(\frac{x^2}{y^3}\).
Ejercicio 14
Simplifica \((9x^6)^{\frac{1}{2}}\).
El exponente \(\frac{1}{2}\) corresponde a raíz cuadrada:
\[ (9x^6)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9x^6} \]
Separando factores:
\[ \sqrt{9x^6}=\sqrt{9}\sqrt{x^6} \]
\[ \sqrt{9}=3 \]
En los reales, \(\sqrt{x^6}=|x^3|\). Por lo tanto:
\[ (9x^6)^{\frac{1}{2}}=3|x^3| \]
El resultado es \(3|x^3|\). Si se asume \(x\ge 0\), se escribe \(3x^3\).
Ejercicio 15
Simplifica \(\dfrac{1}{x^{-4}}\), con \(x\neq 0\).
Usamos que \(x^{-4}=\frac{1}{x^4}\):
\[ \frac{1}{x^{-4}}=\frac{1}{\frac{1}{x^4}} \]
\[ \frac{1}{\frac{1}{x^4}}=x^4 \]
El resultado es \(x^4\).
Ejercicio 16
Simplifica \((3x^2y^{-1})^2(2xy^3)\), con \(y\neq 0\).
Primero elevamos el primer factor al cuadrado:
\[ (3x^2y^{-1})^2=3^2(x^2)^2(y^{-1})^2 \]
\[ (3x^2y^{-1})^2=9x^4y^{-2} \]
Ahora multiplicamos por \(2xy^3\):
\[ (9x^4y^{-2})(2xy^3)=18x^{4+1}y^{-2+3} \]
\[ 18x^{5}y^{1}=18x^5y \]
El resultado es \(18x^5y\).
Ejercicio 17
Simplifica \(\sqrt[4]{x^8}\), con \(x\ge 0\).
Escribimos la raíz como exponente fraccionario:
\[ \sqrt[4]{x^8}=(x^8)^{\frac{1}{4}} \]
Multiplicamos exponentes:
\[ (x^8)^{\frac{1}{4}}=x^{8\cdot \frac{1}{4}}=x^2 \]
El resultado es \(x^2\).
Ejercicio 18
Simplifica \(\dfrac{4a^3b^{-2}}{2a^{-1}b}\), con \(a\neq 0\) y \(b\neq 0\).
Primero simplificamos los coeficientes:
\[ \frac{4}{2}=2 \]
Luego restamos exponentes de bases iguales:
\[ \frac{4a^3b^{-2}}{2a^{-1}b} = 2a^{3-(-1)}b^{-2-1} \]
\[ 2a^{4}b^{-3} \]
Escribimos con exponentes positivos:
\[ 2a^4b^{-3}=\frac{2a^4}{b^3} \]
El resultado es \(\frac{2a^4}{b^3}\).
Ejercicio 19
Simplifica \((x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{2}{3}})^6\).
Aplicamos la potencia a cada factor:
\[ (x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{2}{3}})^6 = x^{\frac{1}{2}\cdot 6}y^{\frac{2}{3}\cdot 6} \]
Calculamos los exponentes:
\[ \frac{1}{2}\cdot 6=3 \qquad\text{y}\qquad \frac{2}{3}\cdot 6=4 \]
\[ x^3y^4 \]
El resultado es \(x^3y^4\).
Ejercicio 20
Simplifica \(\sqrt[5]{32x^{10}y^{15}}\).
Escribimos cada factor como potencia compatible con raíz quinta:
\[ 32=2^5,\qquad x^{10}=(x^2)^5,\qquad y^{15}=(y^3)^5 \]
Entonces:
\[ \sqrt[5]{32x^{10}y^{15}} = \sqrt[5]{(2x^2y^3)^5} \]
\[ \sqrt[5]{(2x^2y^3)^5}=2x^2y^3 \]
El resultado es \(2x^2y^3\).
Ejercicio 21
Simplifica \(\dfrac{x^{-2}+y^{-2}}{x^{-1}y^{-1}}\), con \(x\neq 0\) e \(y\neq 0\).
Primero escribimos los exponentes negativos como fracciones:
\[ \frac{x^{-2}+y^{-2}}{x^{-1}y^{-1}} = \frac{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}}{\frac{1}{xy}} \]
Sumamos las fracciones del numerador:
\[ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} = \frac{y^2+x^2}{x^2y^2} \]
Entonces:
\[ \frac{\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}}{\frac{1}{xy}} = \frac{x^2+y^2}{x^2y^2}\cdot xy \]
Simplificamos:
\[ \frac{x^2+y^2}{x^2y^2}\cdot xy = \frac{x^2+y^2}{xy} \]
El resultado es \(\frac{x^2+y^2}{xy}\).
Ejercicio 22
Simplifica \(\sqrt[3]{27x^6y^9}\).
Escribimos cada factor como potencia cúbica:
\[ 27=3^3,\qquad x^6=(x^2)^3,\qquad y^9=(y^3)^3 \]
Entonces:
\[ \sqrt[3]{27x^6y^9} = \sqrt[3]{(3x^2y^3)^3} \]
\[ \sqrt[3]{(3x^2y^3)^3}=3x^2y^3 \]
El resultado es \(3x^2y^3\).
Problemas de aplicación
Ejercicio 23
La población de una bacteria se duplica cada hora. Si inicialmente hay \(100\) bacterias, ¿cuántas habrá después de \(5\) horas?
Si la población se duplica cada hora, se multiplica por \(2\) en cada período.
Después de \(5\) horas, el factor de crecimiento es:
\[ 2^5=32 \]
Entonces:
\[ 100\cdot 2^5=100\cdot 32=3200 \]
Después de \(5\) horas habrá \(3200\) bacterias.
Ejercicio 24
Un material radiactivo se reduce a la mitad cada \(10\) años. Si inicialmente hay \(1000\) gramos, ¿cuántos gramos quedarán después de \(30\) años?
En \(30\) años hay \(3\) períodos de \(10\) años:
\[ \frac{30}{10}=3 \]
Como se reduce a la mitad en cada período, multiplicamos por \(\left(\frac{1}{2}\right)^3\):
\[ 1000\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 1000\cdot \frac{1}{8} \]
\[ 1000\cdot \frac{1}{8}=125 \]
Después de \(30\) años quedarán \(125\) gramos.
Ejercicio 25
El área de un cuadrado es \(x^6\). ¿Cuál es la longitud de su lado?
La longitud del lado de un cuadrado se obtiene calculando la raíz cuadrada del área:
\[ \text{lado}=\sqrt{x^6} \]
En los reales:
\[ \sqrt{x^6}=|x^3| \]
Como una longitud no puede ser negativa, esta forma asegura que el lado sea positivo o cero.
La longitud del lado es \(|x^3|\). Si \(x\ge 0\), se escribe simplemente \(x^3\).