1. Introducción a las Funciones

Introducción a las funciones

¿Qué es una función?

Una función es una relación especial entre dos conjuntos, llamados dominio y codominio. A cada elemento del dominio, la función le asigna uno y solo un elemento del codominio.

Podemos pensar en una función como una máquina que toma un valor de entrada del dominio y produce un valor de salida en el codominio.

Notación

Usamos letras como \(f\), \(g\) o \(h\) para representar funciones. Si \(f\) es una función, \(x\) es un valor de entrada y \(y\) es el valor de salida correspondiente, escribimos:

\[ y=f(x) \]

Esto se lee “\(y\) es igual a \(f\) de \(x\)”, y significa que \(y\) es el valor que la función \(f\) le asigna a \(x\).

Representaciones de funciones

Formas de representar una función

Las funciones se pueden representar de varias maneras:

  1. Verbalmente: con una descripción en palabras.
  2. Algebraicamente: con una fórmula, por ejemplo \(f(x)=x^2\).
  3. Numéricamente: con una tabla de valores.
  4. Gráficamente: con un gráfico en un sistema de coordenadas.

Ejemplo: cuatro representaciones de la función “elevar al cuadrado”

Representación verbal: la función toma un número y lo eleva al cuadrado.

Representación algebraica:

\[ f(x)=x^2 \]

Representación numérica:

\(x\) \(f(x)\)
\(-2\) \(4\)
\(-1\) \(1\)
\(0\) \(0\)
\(1\) \(1\)
\(2\) \(4\)

Representación gráfica: la gráfica de esta función es una parábola con vértice en el origen.

Dominio, codominio y recorrido

  • Dominio: conjunto de todos los valores de entrada permitidos para la función.
  • Codominio: conjunto donde se declaran los valores de salida posibles.
  • Recorrido: conjunto de valores de salida que la función realmente produce. El recorrido es siempre un subconjunto del codominio.

Por ejemplo, para \(f(x)=\sqrt{x}\), trabajando en los números reales:

  • el dominio es \(x\ge 0\), porque no se calcula raíz cuadrada real de un número negativo;
  • el recorrido es \(f(x)\ge 0\), porque la raíz cuadrada principal nunca es negativa.

Modelo matemático

Un modelo matemático es una representación simplificada de un fenómeno del mundo real usando lenguaje matemático. Las funciones son una herramienta fundamental para construir estos modelos.

Por ejemplo, la distancia que recorre un auto a velocidad constante se puede modelar con una función lineal:

\[ d(t)=v\cdot t \]

donde la distancia depende del tiempo.

Ejercicios

Ejercicio 1

¿Cuál de las siguientes relaciones no es una función? Explica por qué.

  1. A cada persona se le asigna su número de RUT.
  2. A cada número se le asigna su doble.
  3. A cada número positivo se le asigna su raíz cuadrada principal.
  4. A cada madre se le asigna su hijo/a.

Ejercicio 2

Dada la función \(f(x)=2x+3\), completa la siguiente tabla de valores:

\(x\) \(f(x)\)
\(-2\) ?
\(-1\) ?
\(0\) ?
\(1\) ?
\(2\) ?

Ejercicio 3

Para cada función, identifica su dominio y recorrido:

  1. La función que asigna a cada persona su edad en años cumplidos.
  2. La función \(f(x)=\sqrt{x-1}\), considerando números reales.

Ejercicio 4

Determina si la siguiente tabla representa una función.

\(x\) \(y\)
\(1\) \(5\)
\(2\) \(10\)
\(1\) \(7\)
\(3\) \(15\)