Introducción a las Funciones

¿Qué es una Función?

Una función es una relación especial entre dos conjuntos, llamados dominio y codominio (o rango). A cada elemento del dominio, la función le asigna uno y solo un elemento del codominio. Podemos pensar en una función como una "máquina" que toma un valor de entrada (del dominio) y produce un valor de salida (del codominio).

Ejemplo 1:

• Dominio: {1, 2, 3}
• Codominio: {2, 4, 6}
• Regla: Multiplicar cada elemento en el Dominio por dos, para obtener el elemento en el codominio.

En este caso al 1 le corresponde el 2, al 2 le corresponde el 4 y al 3 el 6

Ejemplo 2:

• Imagina una máquina expendedora de bebidas.
• Dominio: Los botones que puedes presionar (cada botón representa una bebida).
• Codominio: Las bebidas que la máquina puede dispensar.
• Función: La máquina misma. Tú presionas un botón (entrada), y la máquina te da *una* bebida específica (salida). No te da dos bebidas a la vez, ni te da una bebida al azar.

Notación

Usualmente usamos letras como "f", "g" o "h" para representar funciones. Si "f" es una función, "x" es un valor de entrada (del dominio), y "y" es el valor de salida correspondiente, escribimos:

\[ y = f(x) \]

Esto se lee: "y es igual a f de x". Significa que "y" es el valor que la función "f" asigna al valor "x".

Ejemplo: \( f(x) = 2x + 1 \) Esta función toma un número (x), lo multiplica por 2 y le suma 1.

• Si x = 3, entonces f(3) = 2 * 3 + 1 = 7.
• Si x = -1, entonces f(-1) = 2 * (-1) + 1 = -1.

Representaciones de Funciones

Las funciones se pueden representar de varias maneras:

1. Verbalmente: Con una descripción en palabras (como en los ejemplos anteriores).
2. Algebraicamente: Con una fórmula o ecuación (ej: \( f(x) = x^2 \)).
3. Numéricamente: Con una tabla de valores (que muestra pares de entrada y salida).
4. Gráficamente: Con un gráfico en un sistema de coordenadas (donde el eje horizontal suele representar la entrada "x" y el eje vertical la salida "y" o "f(x)").

Ejemplo (todas las representaciones):

• Verbal: "La función toma un número y lo eleva al cuadrado".
• Algebraica: \( f(x) = x^2 \)
• Tabla de valores:

  x	f(x)
  -2	4
  -1	1
  0	0
  1	1
  2	4

• Gráfica: (Aquí iría la gráfica de la función cuadrática. En HTML 3.2 no podemos dibujarla directamente, pero en Moodle sí se puede insertar).

Dominio, Codominio y Rango (Recorrido)

• Dominio: El conjunto de *todos* los valores de entrada posibles para la función.
• Codominio: El conjunto de *todos* los valores de salida *posibles*.
• Rango (o Recorrido): El conjunto de *todos* los valores de salida que la función *realmente toma*. El rango es un subconjunto del codominio.

Ejemplo:

• Considera la función \( f(x) = x^2 \), pero *restringimos* el dominio a los números enteros entre -2 y 2 (incluyéndolos): Dominio = {-2, -1, 0, 1, 2}.
• El *codominio* podrían ser todos los números reales (ya que, en principio, la función podría devolver cualquier número real).
• Pero el *rango* (los valores que *realmente* obtenemos) es {0, 1, 4}. Este es un subconjunto de los números reales.

Dominio de una función son todos los valores permitidos que puede tomar el elemento independiente, por ejemplo, si tenemos \( f(x) = \sqrt{x} \) el dominio serian todos los reales mayores o iguales a cero, ya que para valores negativos no estaría definida, el Codominio son todos los reales, y el rango o recorrido son todos los valores que toma la función, en este caso \( f(x) = \sqrt{x} \) el recorrido sería todos los reales mayores o iguales a cero.

Repaso Rápido: Funciones Lineales y Cuadráticas (Solo Conceptos Básicos)

• Función Lineal: Tiene la forma \( f(x) = mx + b \). Su gráfica es una línea recta. "m" es la pendiente (inclinación) y "b" es la intersección con el eje y.
• Función Cuadrática: Tiene la forma \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Su gráfica es una parábola.

No entraremos en detalles sobre estas funciones ahora, pero es útil recordarlas como ejemplos de funciones que ya conoces.

Modelo Matemático

Un modelo matemático es una representación simplificada de una situación o fenómeno del mundo real, utilizando lenguaje y conceptos matemáticos. Las funciones son herramientas *fundamentales* para construir modelos matemáticos.

Ejemplo: Si un objeto se mueve a velocidad constante, la distancia recorrida en función del tiempo se puede modelar con una función lineal.

Ejercicios (Ordenados por Dificultad)

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