3. Introducción a las Tasas de Cambio

Introducción a las tasas de cambio

Cambio constante vs. cambio variable

En el mundo real, muchas cantidades cambian. Algunas lo hacen a un ritmo constante, como un auto que se mueve a velocidad fija, mientras que otras lo hacen a un ritmo variable, como el crecimiento de una planta.

Entender esta diferencia es importante para el modelado matemático, porque permite reconocer cuándo una situación puede representarse con una función lineal y cuándo requiere otro tipo de modelo.

Ejemplo de cambio constante: función lineal

Un automóvil viaja a \(60\) km/h. Cada hora, la distancia aumenta en exactamente \(60\) km.

Por ejemplo:

Tiempo corazón Distancia (km)
\(0\) \(0\)
\(1\) \(60\)
\(2\) \(120\)
\(3\) \(180\)

Como la distancia aumenta siempre en la misma cantidad por cada hora, el cambio es constante y su gráfico corresponde a una recta.

Ejemplo de cambio variable: función no lineal

El crecimiento de una planta puede ser variable. Por ejemplo, puede crecer \(1\) cm el primer día, \(2\) cm el segundo día y \(3\) cm el tercer día.

En este caso, el ritmo de crecimiento no es el mismo cada día.

Como la cantidad de cambio no se mantiene constante, el fenómeno no se modela con una función lineal simple. Su gráfico puede tener forma curva.

Tasa de cambio promedio

La tasa de cambio promedio mide cuánto cambia una cantidad respecto de otra en un intervalo determinado.

Si se consideran dos puntos \((x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\), se calcula como:

\[ \text{Tasa de cambio promedio} = \frac{\text{cambio en }y}{\text{cambio en }x} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \]

Interpretación gráfica

En un gráfico, la tasa de cambio promedio entre dos puntos \((x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\) corresponde a la pendiente de la recta secante que une esos dos puntos.

  • Tasa positiva: la recta secante sube, por lo que la función crece en ese intervalo.
  • Tasa negativa: la recta secante baja, por lo que la función decrece en ese intervalo.
  • Tasa cero: la recta secante es horizontal, por lo que no hay cambio neto en ese intervalo.

Ejercicios

Ejercicio 1

La tabla muestra la distancia recorrida por un ciclista:

Tiempo (min) Distancia (m)
\(0\) \(0\)
\(10\) \(500\)
\(20\) \(1000\)
\(30\) \(1500\)
  1. Calcula la tasa de cambio promedio entre \(0\) y \(10\) minutos.
  2. Calcula la tasa de cambio promedio entre \(10\) y \(20\) minutos.
  3. ¿La tasa de cambio es constante? ¿Qué tipo de función representa?

Ejercicio 2

La tabla muestra la temperatura de una taza de café:

Tiempo (min) Temperatura (°C)
\(0\) \(90\)
\(5\) \(70\)
\(10\) \(55\)
\(15\) \(45\)
  1. Calcula la tasa de cambio promedio entre \(0\) y \(5\) minutos.
  2. Calcula la tasa de cambio promedio entre \(10\) y \(15\) minutos.
  3. ¿La tasa de cambio es constante?

Ejercicio 3

Un gráfico muestra la altura de un cohete de juguete. En el segundo \(1\) está a \(10\) metros, en el segundo \(3\) alcanza su altura máxima de \(50\) metros y, luego, en el segundo \(5\), cae de vuelta al suelo.

  1. ¿Cuál es la tasa de cambio promedio durante el ascenso, entre \(t=1\) y \(t=3\)?
  2. ¿Cuál es la tasa de cambio promedio durante el descenso, entre \(t=3\) y \(t=5\)?