Libro de los números complejos
4. Representación Gráfica de Números Complejos
Representación Gráfica de Números Complejos
El plano complejo o plano de Argand
Representación en el plano complejo
Así como representamos los números reales en una recta numérica, podemos representar los números complejos en un plano, llamado plano complejo o plano de Argand.
El plano complejo tiene:
- Un eje horizontal, llamado eje real \((\operatorname{Re})\).
- Un eje vertical, llamado eje imaginario \((\operatorname{Im})\).
Correspondencia entre número complejo y punto
Un número complejo \(z=a+bi\) se representa como un punto en el plano complejo:
\[ z=a+bi \longleftrightarrow (a,b) \]
Donde:
- La coordenada horizontal es la parte real \(a\).
- La coordenada vertical es la parte imaginaria \(b\).
Ejemplo: puntos en el plano complejo
Algunos números complejos se representan así:
- \(3+2i\) se representa por el punto \((3,2)\).
- \(-1-i\) se representa por el punto \((-1,-1)\).
- \(4=4+0i\) se representa por el punto \((4,0)\), sobre el eje real.
- \(5i=0+5i\) se representa por el punto \((0,5)\), sobre el eje imaginario.
Números complejos como vectores
Representación vectorial
También podemos representar un número complejo como un vector que parte del origen \((0,0)\) y termina en el punto \((a,b)\) que representa al número complejo.
Así, el número complejo \(z=a+bi\) puede verse como:
- un punto \((a,b)\), o
- un vector desde \((0,0)\) hasta \((a,b)\).
Esta representación es útil para visualizar la suma y la resta de números complejos.
Ejemplo: representar un complejo como punto y vector
El número complejo \(z=2+3i\) se representa como el punto \((2,3)\) y también como un vector desde el origen hasta \((2,3)\).
Conjugado en el plano complejo
Representación del conjugado
Si \(z=a+bi\), entonces su conjugado es:
\[ \overline{z}=a-bi \]
En el plano complejo, si \(z\) se representa por el punto \((a,b)\), entonces \(\overline{z}\) se representa por el punto:
\[ (a,-b) \]
Geométricamente, el conjugado corresponde a una reflexión respecto del eje real.
Ejemplos
Ejemplo 1: representar varios números complejos
Representa en el plano complejo los siguientes números:
\[ 2+3i,\quad -1+2i,\quad -3-i,\quad 4,\quad -2i \]
| Número complejo | Punto asociado | Ubicación |
|---|---|---|
| \(2+3i\) | \((2,3)\) | Cuadrante I |
| \(-1+2i\) | \((-1,2)\) | Cuadrante II |
| \(-3-i\) | \((-3,-1)\) | Cuadrante III |
| \(4\) | \((4,0)\) | Eje real |
| \(-2i\) | \((0,-2)\) | Eje imaginario |
Ejercicios
Ejercicio 1: representar números complejos
Representa gráficamente en el plano complejo los siguientes números:
- \(z=1+i\)
- \(z=-2+3i\)
- \(z=3-2i\)
- \(z=-1-i\)
- \(z=4\)
- \(z=-3i\)
- \(z=0\)
Para representar cada número, se identifica su parte real y su parte imaginaria. Si \(z=a+bi\), entonces se ubica el punto \((a,b)\).
| Número complejo | Punto asociado | Ubicación |
|---|---|---|
| \(1+i\) | \((1,1)\) | Cuadrante I |
| \(-2+3i\) | \((-2,3)\) | Cuadrante II |
| \(3-2i\) | \((3,-2)\) | Cuadrante IV |
| \(-1-i\) | \((-1,-1)\) | Cuadrante III |
| \(4\) | \((4,0)\) | Eje real |
| \(-3i\) | \((0,-3)\) | Eje imaginario |
| \(0\) | \((0,0)\) | Origen |
Ejercicio 2: escribir el complejo desde un punto
Escribe el número complejo representado por cada punto en el plano complejo:
- Punto \(A\): \((2,-1)\)
- Punto \(B\): \((-3,4)\)
- Punto \(C\): \((0,3)\)
- Punto \(D\): \((-2,0)\)
- Punto \(E\): \(\left(\frac{1}{2},\frac{5}{2}\right)\)
- Punto \(F\): \((-\sqrt{2},-\sqrt{3})\)
Si un punto es \((a,b)\), entonces el número complejo correspondiente es \(z=a+bi\).
- \((2,-1)\): \(z=2-i\).
- \((-3,4)\): \(z=-3+4i\).
- \((0,3)\): \(z=0+3i=3i\).
- \((-2,0)\): \(z=-2+0i=-2\).
- \(\left(\frac{1}{2},\frac{5}{2}\right)\): \(z=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i\).
- \((-\sqrt{2},-\sqrt{3})\): \(z=-\sqrt{2}-\sqrt{3}i\).
Ejercicio 3: complejos como vectores y suma gráfica
- Representa el número complejo \(z=2+i\) en el plano complejo, tanto como punto como vector.
- Representa el número complejo \(w=-1+3i\) en el mismo plano complejo, como punto y vector.
- Dibuja el vector que resulta de sumar gráficamente los vectores que representan a \(z\) y \(w\). ¿Qué número complejo representa este vector resultante?
Primero representamos cada número complejo como punto y como vector desde el origen.
- \(z=2+i\) tiene parte real \(2\) y parte imaginaria \(1\), por lo tanto se representa por el punto \((2,1)\) y por el vector desde \((0,0)\) hasta \((2,1)\).
- \(w=-1+3i\) tiene parte real \(-1\) y parte imaginaria \(3\), por lo tanto se representa por el punto \((-1,3)\) y por el vector desde \((0,0)\) hasta \((-1,3)\).
- Para sumar gráficamente, se suman las componentes: \[ (2,1)+(-1,3)=(2+(-1),1+3)=(1,4) \] Por lo tanto: \[ z+w=(2+i)+(-1+3i)=1+4i \] El vector resultante va desde el origen hasta \((1,4)\), y representa el número complejo \(1+4i\).
Ejercicio 4: representar complejos y sus conjugados
Representa en el plano complejo los siguientes números complejos y también sus conjugados:
- \(z=3+2i\)
- \(z=-1-4i\)
- \(z=5i\)
- \(z=-2\)
El conjugado de \(z=a+bi\) es \(\overline{z}=a-bi\). En el plano complejo, esto cambia el punto \((a,b)\) por \((a,-b)\).
-
\[ z=3+2i \]
Se representa por el punto \((3,2)\). Su conjugado es:
\[ \overline{z}=3-2i \]
Se representa por el punto \((3,-2)\).
-
\[ z=-1-4i \]
Se representa por el punto \((-1,-4)\). Su conjugado es:
\[ \overline{z}=-1+4i \]
Se representa por el punto \((-1,4)\).
-
\[ z=5i=0+5i \]
Se representa por el punto \((0,5)\). Su conjugado es:
\[ \overline{z}=-5i \]
Se representa por el punto \((0,-5)\).
-
\[ z=-2=-2+0i \]
Se representa por el punto \((-2,0)\). Su conjugado es:
\[ \overline{z}=-2 \]
Se representa por el mismo punto \((-2,0)\), porque los números reales son sus propios conjugados.
Ejercicio 5: punto asociado al conjugado
Si un número complejo \(z\) se representa por el punto \((a,b)\) en el plano complejo, ¿qué punto representa a su conjugado \(\overline{z}\)?
- \((a,b)\)
- \((-a,b)\)
- \((a,-b)\)
- \((-a,-b)\)
- \((b,a)\)
Si \(z\) se representa por \((a,b)\), entonces:
\[ z=a+bi \]
Su conjugado es:
\[ \overline{z}=a-bi \]
Por lo tanto, la parte real se mantiene igual y la parte imaginaria cambia de signo. El punto asociado es:
\[ (a,-b) \]
Respuesta correcta: c) \((a,-b)\).
Ejercicio 6: imaginarios puros en el plano complejo
¿Qué característica tiene la representación en el plano complejo de un número imaginario puro?
- Está sobre el eje real.
- Está sobre el eje imaginario.
- Está en el origen.
- Está a la misma distancia del eje real que del eje imaginario.
- No se puede representar.
Un número imaginario puro tiene la forma:
\[ z=bi \]
Esto también puede escribirse como:
\[ z=0+bi \]
Por lo tanto, su punto asociado es:
\[ (0,b) \]
Como la coordenada real es \(0\), el punto está sobre el eje imaginario.
Respuesta correcta: b) Está sobre el eje imaginario.
Ejercicio 7: representación de \(-z\)
Si representas un número complejo \(z\) como un vector en el plano complejo, ¿qué representa geométricamente el vector que va desde el origen hasta el punto que representa a \(-z\)?
- El conjugado de \(z\).
- El inverso aditivo de \(z\).
- El inverso multiplicativo de \(z\).
- El módulo de \(z\).
- Un vector perpendicular a \(z\).
Si:
\[ z=a+bi \]
Entonces:
\[ -z=-(a+bi)=-a-bi \]
El punto asociado a \(z\) es \((a,b)\), mientras que el punto asociado a \(-z\) es:
\[ (-a,-b) \]
Geométricamente, esto corresponde al vector opuesto al vector que representa a \(z\). Es decir, representa el inverso aditivo de \(z\).
Respuesta correcta: b) El inverso aditivo de \(z\).