Libro de los números complejos
1. Números Imaginarios: Unidad Imaginaria y Primeras Operaciones
Objetivos
- Comprender por qué se introduce la unidad imaginaria \(i\).
- Expresar raíces cuadradas de números negativos usando \(i\).
- Reconocer números imaginarios puros.
- Simplificar potencias básicas de \(i\).
- Resolver ecuaciones sencillas con soluciones imaginarias puras.
1. ¿Por qué aparecen los números imaginarios?
Una dificultad en los números reales
En los números reales, no existe ningún número cuyo cuadrado sea negativo.
Por ejemplo, la ecuación:
\[ x^2=-1 \]
no tiene solución en \(\mathbb{R}\), porque el cuadrado de un número real siempre es mayor o igual que cero.
Para poder resolver ecuaciones de este tipo, se introduce una nueva unidad numérica llamada unidad imaginaria.
Unidad imaginaria
La unidad imaginaria se representa por \(i\) y se define como:
\[ i=\sqrt{-1} \]
De esta definición se obtiene la propiedad fundamental:
\[ i^2=-1 \]
Ejemplo 1: interpretar la unidad imaginaria
Si \(i=\sqrt{-1}\), entonces al elevar \(i\) al cuadrado se obtiene:
\[ i^2=(\sqrt{-1})^2 \]
\[ i^2=-1 \]
Por eso, \(i\) permite trabajar con raíces cuadradas de números negativos.
2. Raíces cuadradas de números negativos
Regla general
Si \(a>0\), entonces:
\[ \sqrt{-a}=\sqrt{a}\,i \]
Esta regla permite transformar una raíz cuadrada negativa en una expresión con \(i\).
Ejemplo 2: calcular \(\sqrt{-25}\)
Separamos el signo negativo:
\[ \sqrt{-25}=\sqrt{25}\sqrt{-1} \]
Como \(\sqrt{25}=5\) y \(\sqrt{-1}=i\), queda:
\[ \sqrt{-25}=5i \]
Ejemplo 3: calcular \(\sqrt{-72}\)
Aplicamos la regla:
\[ \sqrt{-72}=\sqrt{72}\,i \]
Simplificamos \(\sqrt{72}\):
\[ \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2} \]
Por lo tanto:
\[ \sqrt{-72}=6\sqrt{2}i \]
Error común
No se debe escribir que \(\sqrt{-25}=-5\).
Esto es incorrecto, porque:
\[ (-5)^2=25 \]
La forma correcta es:
\[ \sqrt{-25}=5i \]
3. Números imaginarios puros
Definición
Un número imaginario puro es un número de la forma:
\[ bi \]
donde \(b\) es un número real y \(i\) es la unidad imaginaria.
Algunos ejemplos de números imaginarios puros son:
\[ 3i,\qquad -7i,\qquad \frac{1}{2}i,\qquad \sqrt{5}i \]
Relación con los números complejos
Más adelante se estudiarán los números complejos, que tienen la forma:
\[ a+bi \]
Cuando \(a=0\), el número complejo queda como:
\[ 0+bi=bi \]
Por eso, los números imaginarios puros son un caso particular de los números complejos.
Ejemplo 4: reconocer números imaginarios puros
Los siguientes números son imaginarios puros:
\[ 4i,\qquad -9i,\qquad \sqrt{3}i \]
En cambio, el número:
\[ 5+2i \]
no es imaginario puro, porque tiene parte real distinta de cero.
4. Potencias básicas de \(i\)
Ciclo de potencias de \(i\)
Las potencias de \(i\) se repiten en ciclos de cuatro valores:
\[ i^1=i \]
\[ i^2=-1 \]
\[ i^3=i^2\cdot i=-1\cdot i=-i \]
\[ i^4=i^2\cdot i^2=(-1)(-1)=1 \]
Luego el ciclo vuelve a repetirse:
\[ i^5=i,\qquad i^6=-1,\qquad i^7=-i,\qquad i^8=1 \]
Ejemplo 5: simplificar \(i^{11}\)
Dividimos el exponente entre \(4\):
\[ 11=4\cdot 2+3 \]
El resto es \(3\), por lo tanto:
\[ i^{11}=i^3 \]
Como \(i^3=-i\), entonces:
\[ i^{11}=-i \]
5. Ecuaciones con soluciones imaginarias puras
Idea principal
Algunas ecuaciones cuadráticas no tienen soluciones reales, pero sí tienen soluciones imaginarias.
Por ejemplo:
\[ x^2+9=0 \]
Al despejar:
\[ x^2=-9 \]
Entonces:
\[ x=\pm\sqrt{-9} \]
Como \(\sqrt{-9}=3i\), las soluciones son:
\[ x=\pm 3i \]
Ejemplo 6: resolver \(x^2+16=0\)
Partimos de la ecuación:
\[ x^2+16=0 \]
Despejamos \(x^2\):
\[ x^2=-16 \]
Aplicamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{-16} \]
Como \(\sqrt{-16}=4i\), entonces:
\[ x=\pm 4i \]
Por lo tanto, las soluciones son:
\[ x_1=4i,\qquad x_2=-4i \]
Ejercicios
Ejercicio 1: raíces cuadradas negativas
Expresa en términos de \(i\):
- \(\sqrt{-1}\)
- \(\sqrt{-9}\)
- \(\sqrt{-36}\)
- \(\sqrt{-64}\)
- \(\sqrt{-121}\)
- \(\sqrt{-50}\)
Usamos:
\[ \sqrt{-a}=\sqrt{a}\,i \]
-
\[ \sqrt{-1}=i \]
-
\[ \sqrt{-9}=\sqrt{9}\,i=3i \]
-
\[ \sqrt{-36}=\sqrt{36}\,i=6i \]
-
\[ \sqrt{-64}=\sqrt{64}\,i=8i \]
-
\[ \sqrt{-121}=\sqrt{121}\,i=11i \]
-
\[ \sqrt{-50}=\sqrt{50}\,i \]
\[ \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2} \]
Por lo tanto:
\[ \sqrt{-50}=5\sqrt{2}i \]
Ejercicio 2: reconocer números imaginarios puros
Indica cuáles de los siguientes números son imaginarios puros:
- \(7i\)
- \(-3i\)
- \(4+2i\)
- \(0+5i\)
- \(-8\)
- \(\sqrt{6}i\)
Un número imaginario puro tiene la forma \(bi\), es decir, no tiene parte real distinta de cero.
- \(7i\) sí es imaginario puro.
- \(-3i\) sí es imaginario puro.
- \(4+2i\) no es imaginario puro, porque tiene parte real \(4\).
- \(0+5i=5i\), sí es imaginario puro.
- \(-8\) no es imaginario puro; es un número real.
- \(\sqrt{6}i\) sí es imaginario puro.
Ejercicio 3: potencias básicas de \(i\)
Simplifica:
- \(i^2\)
- \(i^3\)
- \(i^4\)
- \(i^5\)
- \(i^8\)
- \(i^{15}\)
Recordemos el ciclo:
\[ i,\quad -1,\quad -i,\quad 1 \]
-
\[ i^2=-1 \]
-
\[ i^3=-i \]
-
\[ i^4=1 \]
-
\[ i^5=i^4\cdot i=1\cdot i=i \]
-
\[ i^8=(i^4)^2=1^2=1 \]
-
Dividimos \(15\) entre \(4\):
\[ 15=4\cdot 3+3 \]
El resto es \(3\), entonces:
\[ i^{15}=i^3=-i \]
Ejercicio 4: operaciones simples con \(i\)
Simplifica:
- \(2i+6i\)
- \(9i-4i\)
- \((3i)(5i)\)
- \((-2i)(7i)\)
- \(\dfrac{12i}{3i}\)
-
\[ 2i+6i=8i \]
-
\[ 9i-4i=5i \]
-
\[ (3i)(5i)=15i^2 \]
Como \(i^2=-1\):
\[ 15i^2=15(-1)=-15 \]
-
\[ (-2i)(7i)=-14i^2 \]
Como \(i^2=-1\):
\[ -14i^2=-14(-1)=14 \]
-
\[ \frac{12i}{3i}=4 \]
Se puede simplificar \(i\), porque \(i\neq 0\).
Ejercicio 5: ecuaciones con soluciones imaginarias puras
Resuelve las siguientes ecuaciones:
- \(x^2+4=0\)
- \(x^2+25=0\)
- \(x^2+49=0\)
- \(4x^2+36=0\)
- \(-x^2=81\)
-
\[ x^2+4=0 \]
\[ x^2=-4 \]
\[ x=\pm\sqrt{-4}=\pm 2i \]
-
\[ x^2+25=0 \]
\[ x^2=-25 \]
\[ x=\pm\sqrt{-25}=\pm 5i \]
-
\[ x^2+49=0 \]
\[ x^2=-49 \]
\[ x=\pm\sqrt{-49}=\pm 7i \]
-
\[ 4x^2+36=0 \]
\[ 4x^2=-36 \]
\[ x^2=-9 \]
\[ x=\pm\sqrt{-9}=\pm 3i \]
-
\[ -x^2=81 \]
Multiplicamos por \(-1\):
\[ x^2=-81 \]
\[ x=\pm\sqrt{-81}=\pm 9i \]
Para conectar con la próxima página
Los números imaginarios puros permiten resolver ecuaciones como \(x^2=-9\).
En la siguiente etapa se amplía esta idea para estudiar números de la forma:
\[ a+bi \]
Estos números se llaman números complejos.