Libro de los números complejos
5. Suma y Resta de Números Complejos
Suma y Resta de Números Complejos
Repaso: forma binomial
Forma binomial
Recordemos que un número complejo en forma binomial se escribe como:
\[ z=a+bi \]
Donde \(a\) es la parte real y \(b\) es la parte imaginaria.
Suma de números complejos
Definición algebraica
Suma de complejos
Para sumar dos números complejos, se suman sus partes reales y sus partes imaginarias por separado.
Si \(z_1=a+bi\) y \(z_2=c+di\), entonces:
\[ z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i \]
Ejemplo: suma de números complejos
Calcula:
\[ (3+2i)+(1-5i) \]
Sumamos partes reales y partes imaginarias:
\[ (3+2i)+(1-5i)=(3+1)+(2-5)i \]
\[ =4-3i \]
Interpretación geométrica
Regla del paralelogramo
En el plano complejo, la suma de dos números complejos se puede visualizar como una suma de vectores. Si representamos los números complejos como vectores que parten del origen:
- El vector suma se obtiene construyendo un paralelogramo donde los dos vectores originales son lados adyacentes.
- La diagonal del paralelogramo que parte del origen representa el vector suma.
Resta de números complejos
Definición algebraica
Resta de complejos
Para restar dos números complejos, se restan sus partes reales y sus partes imaginarias por separado.
Si \(z_1=a+bi\) y \(z_2=c+di\), entonces:
\[ z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i \]
Ejemplo: resta de números complejos
Calcula:
\[ (5+4i)-(2+i) \]
Restamos partes reales y partes imaginarias:
\[ (5+4i)-(2+i)=(5-2)+(4-1)i \]
\[ =3+3i \]
Interpretación geométrica
Resta como suma del opuesto
Restar \(z_2\) de \(z_1\) es equivalente a sumar \(z_1\) con el opuesto de \(z_2\), es decir, con \(-z_2\):
\[ z_1-z_2=z_1+(-z_2) \]
Geométricamente, esto significa:
- Representar el vector de \(z_2\).
- Dibujar el vector opuesto \(-z_2\), con la misma magnitud y dirección contraria.
- Sumar \(z_1\) y \(-z_2\) usando la regla del paralelogramo o la regla del triángulo.
Ejercicios
Ejercicio 1: calcular sumas y restas
Calcula las siguientes sumas y restas:
- \((2+5i)+(1+3i)\)
- \((-3+i)+(4-2i)\)
- \((6-i)-(2+4i)\)
- \((-1-i)-(-3-2i)\)
- \((0{,}5+1{,}2i)+(2{,}3-0{,}8i)\)
- \(\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}i\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}i\right)\)
En cada caso, se operan por separado las partes reales y las partes imaginarias.
-
\[ (2+5i)+(1+3i)=(2+1)+(5+3)i \]
\[ =3+8i \]
-
\[ (-3+i)+(4-2i)=(-3+4)+(1-2)i \]
\[ =1-i \]
-
\[ (6-i)-(2+4i)=(6-2)+(-1-4)i \]
\[ =4-5i \]
-
\[ (-1-i)-(-3-2i)=(-1+3)+(-1+2)i \]
\[ =2+i \]
-
\[ (0{,}5+1{,}2i)+(2{,}3-0{,}8i)=(0{,}5+2{,}3)+(1{,}2-0{,}8)i \]
\[ =2{,}8+0{,}4i \]
-
\[ \left(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}i\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}i\right) = \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right)i \]
\[ =\frac{3}{4}+\frac{1}{4}i \]
Ejercicio 2: suma y resta gráfica
Representa gráficamente en el plano complejo los siguientes números complejos, y luego realiza gráficamente la suma \(z_1+z_2\) y la resta \(z_1-z_2\) para cada caso:
- \(z_1=3+i\), \(z_2=1+2i\)
- \(z_1=-2+3i\), \(z_2=4+i\)
- \(z_1=1-i\), \(z_2=-3-2i\)
Para la representación gráfica, cada número complejo \(a+bi\) se interpreta como el vector desde \((0,0)\) hasta \((a,b)\).
-
Para \(z_1=3+i\) y \(z_2=1+2i\):
\[ z_1+z_2=(3+1)+(1+2)i=4+3i \]
El vector suma va desde \((0,0)\) hasta \((4,3)\).
\[ z_1-z_2=(3-1)+(1-2)i=2-i \]
El vector resta va desde \((0,0)\) hasta \((2,-1)\).
-
Para \(z_1=-2+3i\) y \(z_2=4+i\):
\[ z_1+z_2=(-2+4)+(3+1)i=2+4i \]
El vector suma va desde \((0,0)\) hasta \((2,4)\).
\[ z_1-z_2=(-2-4)+(3-1)i=-6+2i \]
El vector resta va desde \((0,0)\) hasta \((-6,2)\).
-
Para \(z_1=1-i\) y \(z_2=-3-2i\):
\[ z_1+z_2=(1+(-3))+(-1+(-2))i=-2-3i \]
El vector suma va desde \((0,0)\) hasta \((-2,-3)\).
\[ z_1-z_2=(1-(-3))+(-1-(-2))i=4+i \]
El vector resta va desde \((0,0)\) hasta \((4,1)\).
Ejercicio 3: ecuaciones con números complejos
Encuentra los números complejos \(z\) que satisfacen las siguientes ecuaciones:
- \(z+(2-i)=5+3i\)
- \((4+2i)-z=1-i\)
- \(2z+(1+i)=3-2i\)
-
\[ z+(2-i)=5+3i \]
Restamos \((2-i)\) en ambos lados:
\[ z=(5+3i)-(2-i) \]
\[ z=(5-2)+(3-(-1))i \]
\[ z=3+4i \]
-
\[ (4+2i)-z=1-i \]
Sumamos \(z\) en ambos lados:
\[ 4+2i=(1-i)+z \]
Restamos \((1-i)\) en ambos lados:
\[ z=(4+2i)-(1-i) \]
\[ z=(4-1)+(2-(-1))i \]
\[ z=3+3i \]
-
\[ 2z+(1+i)=3-2i \]
Restamos \((1+i)\) en ambos lados:
\[ 2z=(3-2i)-(1+i) \]
\[ 2z=(3-1)+(-2-1)i \]
\[ 2z=2-3i \]
Dividimos por \(2\):
\[ z=1-\frac{3}{2}i \]
Ejercicio 4: conjugado de una suma
Si \(z_1=a+bi\) y \(z_2=c+di\), demuestra que la suma de los conjugados es igual al conjugado de la suma. Es decir, demuestra que:
\[ \overline{z_1}+\overline{z_2}=\overline{z_1+z_2} \]
Primero calculamos los conjugados de \(z_1\) y \(z_2\):
\[ \overline{z_1}=a-bi \]
\[ \overline{z_2}=c-di \]
Sumamos los conjugados:
\[ \overline{z_1}+\overline{z_2}=(a-bi)+(c-di) \]
\[ \overline{z_1}+\overline{z_2}=(a+c)-(b+d)i \]
Ahora calculamos la suma original:
\[ z_1+z_2=(a+bi)+(c+di) \]
\[ z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i \]
Su conjugado es:
\[ \overline{z_1+z_2}=(a+c)-(b+d)i \]
Como ambos resultados son iguales, se cumple que:
\[ \overline{z_1}+\overline{z_2}=\overline{z_1+z_2} \]