Libro de los números complejos
6. Multiplicación de Números Complejos
Multiplicación de Números Complejos
Repaso: forma binomial y la unidad imaginaria
Recordemos
- Un número complejo en forma binomial se escribe como \(z=a+bi\), donde \(a\) es la parte real y \(b\) es la parte imaginaria.
- La unidad imaginaria se define como \(i=\sqrt{-1}\), por lo tanto \(i^2=-1\).
Multiplicación algebraica
Producto de dos números complejos
Para multiplicar números complejos en forma binomial, usamos la propiedad distributiva, como al multiplicar binomios, y luego simplificamos usando que \(i^2=-1\).
Si \(z_1=a+bi\) y \(z_2=c+di\), entonces:
\[ z_1\cdot z_2=(a+bi)(c+di) \]
Desarrollando:
\[ (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2 \]
Como \(i^2=-1\), queda:
\[ ac+adi+bci+bdi^2=ac+adi+bci-bd \]
Agrupando parte real e imaginaria:
\[ z_1\cdot z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i \]
Procedimiento
- Multiplica los dos números complejos como si fueran binomios.
- Reemplaza \(i^2\) por \(-1\).
- Agrupa la parte real y la parte imaginaria.
Ejemplo 1: multiplicar \((2+3i)(1-2i)\)
Aplicamos la propiedad distributiva:
\[ (2+3i)(1-2i)=2(1)+2(-2i)+3i(1)+3i(-2i) \]
\[ =2-4i+3i-6i^2 \]
Agrupamos los términos con \(i\):
\[ =2-i-6i^2 \]
Como \(i^2=-1\):
\[ =2-i-6(-1) \]
\[ =2-i+6 \]
\[ =8-i \]
Ejemplo 2: multiplicar \((4-i)(5+2i)\)
Desarrollamos:
\[ (4-i)(5+2i)=20+8i-5i-2i^2 \]
Agrupamos:
\[ =20+3i-2i^2 \]
Como \(i^2=-1\):
\[ =20+3i-2(-1) \]
\[ =20+3i+2 \]
\[ =22+3i \]
Ejemplo 3: producto de conjugados
Calcula:
\[ (1+i)(1-i) \]
Desarrollamos:
\[ (1+i)(1-i)=1-i+i-i^2 \]
Los términos \(-i\) e \(i\) se cancelan:
\[ =1-i^2 \]
Como \(i^2=-1\):
\[ =1-(-1)=2 \]
Este es un caso especial: un número complejo multiplicado por su conjugado da como resultado un número real.
Multiplicación por un número real
Multiplicar por un real
Si multiplicamos un número complejo por un número real, multiplicamos tanto la parte real como la parte imaginaria por ese número real.
Ejemplo: multiplicar por un número real
Calcula:
\[ 3(2+4i) \]
Distribuimos el \(3\):
\[ 3(2+4i)=3\cdot 2+3\cdot 4i \]
\[ =6+12i \]
Multiplicación por un imaginario puro
Multiplicar por un múltiplo de \(i\)
Si multiplicamos un número complejo por un imaginario puro, también usamos la propiedad distributiva y luego reemplazamos \(i^2\) por \(-1\).
En estos casos, los términos que contienen \(i^2\) pasan a formar parte real del resultado.
Ejemplo: multiplicar por un imaginario puro
Calcula:
\[ 2i(5-3i) \]
Distribuimos \(2i\):
\[ 2i(5-3i)=10i-6i^2 \]
Como \(i^2=-1\):
\[ =10i-6(-1) \]
\[ =10i+6 \]
Escribimos en forma binomial:
\[ =6+10i \]
Ejercicios
Ejercicio 1: calcular productos
Calcula los siguientes productos:
- \((1+i)(3-2i)\)
- \((4-3i)(2+i)\)
- \((-2+i)(-1-i)\)
- \((5i)(3+2i)\)
- \(4(1-i)\)
- \((0{,}5+i)(2-0{,}4i)\)
- \(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right)\)
- \((1+\sqrt{2}i)(1-\sqrt{2}i)\)
- \((a+bi)(a-bi)\), donde \(a\) y \(b\) son números reales cualesquiera.
-
\[ (1+i)(3-2i)=3-2i+3i-2i^2 \]
\[ =3+i-2(-1) \]
\[ =5+i \]
-
\[ (4-3i)(2+i)=8+4i-6i-3i^2 \]
\[ =8-2i-3(-1) \]
\[ =11-2i \]
-
\[ (-2+i)(-1-i)=2+2i-i-i^2 \]
\[ =2+i-(-1) \]
\[ =3+i \]
-
\[ (5i)(3+2i)=15i+10i^2 \]
\[ =15i+10(-1) \]
\[ =-10+15i \]
-
\[ 4(1-i)=4\cdot 1-4\cdot i \]
\[ =4-4i \]
-
\[ (0{,}5+i)(2-0{,}4i)=1-0{,}2i+2i-0{,}4i^2 \]
\[ =1+1{,}8i-0{,}4(-1) \]
\[ =1{,}4+1{,}8i \]
-
\[ \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right) \]
\[ =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i-\frac{1}{4}i-\frac{1}{4}i^2 \]
\[ =\frac{1}{4}-\frac{1}{4}(-1) \]
\[ =\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \]
\[ =\frac{1}{2} \]
-
\[ (1+\sqrt{2}i)(1-\sqrt{2}i)=1-\sqrt{2}i+\sqrt{2}i-2i^2 \]
\[ =1-2(-1) \]
\[ =3 \]
-
\[ (a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi-b^2i^2 \]
Los términos \(-abi\) y \(abi\) se cancelan:
\[ =a^2-b^2i^2 \]
Como \(i^2=-1\):
\[ =a^2-b^2(-1) \]
\[ =a^2+b^2 \]
Este resultado es importante: el producto de un número complejo por su conjugado es un número real.
Ejercicio 2: potencias de \(1+i\)
Calcula:
- \((1+i)^2\)
- \((1+i)^3\)
- \((1+i)^4\)
-
\[ (1+i)^2=(1+i)(1+i) \]
\[ =1+i+i+i^2 \]
\[ =1+2i-1 \]
\[ =2i \]
-
Usamos el resultado anterior, \((1+i)^2=2i\):
\[ (1+i)^3=(1+i)(1+i)^2 \]
\[ =(1+i)(2i) \]
\[ =2i+2i^2 \]
\[ =2i-2 \]
\[ =-2+2i \]
-
Usamos nuevamente que \((1+i)^2=2i\):
\[ (1+i)^4=(1+i)^2(1+i)^2 \]
\[ =(2i)(2i) \]
\[ =4i^2 \]
\[ =-4 \]
Ejercicio 3: ecuación con números complejos
Encuentra el valor de \(x\) e \(y\) que hacen cierta la siguiente ecuación:
\[ (2+3i)(x+yi)=1+i \]
Primero expandimos el producto del lado izquierdo:
\[ (2+3i)(x+yi)=2x+2yi+3xi+3yi^2 \]
Como \(i^2=-1\):
\[ =2x+2yi+3xi-3y \]
Agrupamos parte real e imaginaria:
\[ =(2x-3y)+(2y+3x)i \]
Entonces:
\[ (2x-3y)+(2y+3x)i=1+i \]
Igualamos partes reales e imaginarias:
\[ 2x-3y=1 \]
\[ 3x+2y=1 \]
Resolvemos el sistema por eliminación. Multiplicamos la primera ecuación por \(2\):
\[ 4x-6y=2 \]
Multiplicamos la segunda ecuación por \(3\):
\[ 9x+6y=3 \]
Sumamos ambas ecuaciones:
\[ 13x=5 \]
\[ x=\frac{5}{13} \]
Sustituimos en \(2x-3y=1\):
\[ 2\left(\frac{5}{13}\right)-3y=1 \]
\[ \frac{10}{13}-3y=1 \]
\[ -3y=1-\frac{10}{13} \]
\[ -3y=\frac{3}{13} \]
\[ y=-\frac{1}{13} \]
Por lo tanto:
\[ x=\frac{5}{13}, \qquad y=-\frac{1}{13} \]