Libro de los números complejos
8. Módulo de un Número Complejo
Módulo de un Número Complejo
Repaso: representación gráfica
Número complejo como punto y vector
Recordemos que un número complejo \(z=a+bi\) se puede representar como un punto \((a,b)\) en el plano complejo, o como un vector desde el origen hasta ese punto.
Definición geométrica del módulo
Módulo como distancia
El módulo de un número complejo, denotado por \(|z|\), es la distancia desde el origen \((0,0)\) hasta el punto \((a,b)\) que representa al número complejo en el plano.
Definición algebraica del módulo
Relación con el Teorema de Pitágoras
El punto \((a,b)\), junto con el origen, forma un triángulo rectángulo. Sus catetos miden \(|a|\) y \(|b|\), mientras que la hipotenusa corresponde al módulo \(|z|\).
Por el Teorema de Pitágoras:
\[ |z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} \]
Importante
- El módulo de un número complejo siempre es un número real no negativo.
- El módulo representa una distancia, por lo que nunca puede ser negativo.
- El módulo de un número complejo real coincide con su valor absoluto.
Ejemplo 1: calcular el módulo de \(z=3+4i\)
Identificamos \(a=3\) y \(b=4\). Entonces:
\[ |z|=|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2} \]
\[ |z|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \]
Ejemplo 2: calcular el módulo de \(z=-2-i\)
Identificamos \(a=-2\) y \(b=-1\). Entonces:
\[ |z|=|-2-i|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2} \]
\[ |z|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5} \]
Ejemplo 3: calcular el módulo de \(z=5i\)
Escribimos \(5i\) como \(0+5i\). Entonces \(a=0\) y \(b=5\):
\[ |z|=|5i|=|0+5i|=\sqrt{0^2+5^2} \]
\[ |z|=\sqrt{25}=5 \]
Ejemplo 4: calcular el módulo de \(z=-3\)
Escribimos \(-3\) como \(-3+0i\). Entonces \(a=-3\) y \(b=0\):
\[ |z|=|-3+0i|=\sqrt{(-3)^2+0^2} \]
\[ |z|=\sqrt{9}=3 \]
Ejercicios
Ejercicio 1: calcular módulos
Calcula el módulo de los siguientes números complejos:
- \(z=1+i\)
- \(z=-3+4i\)
- \(z=2-2i\)
- \(z=-5i\)
- \(z=7\)
- \(z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)
Usamos la fórmula:
\[ |a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} \]
-
Para \(z=1+i\), se tiene \(a=1\) y \(b=1\):
\[ |z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \]
-
Para \(z=-3+4i\), se tiene \(a=-3\) y \(b=4\):
\[ |z|=\sqrt{(-3)^2+4^2} \]
\[ |z|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \]
-
Para \(z=2-2i\), se tiene \(a=2\) y \(b=-2\):
\[ |z|=\sqrt{2^2+(-2)^2} \]
\[ |z|=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \]
-
Para \(z=-5i\), escribimos \(z=0-5i\), por lo tanto \(a=0\) y \(b=-5\):
\[ |z|=\sqrt{0^2+(-5)^2} \]
\[ |z|=\sqrt{25}=5 \]
-
Para \(z=7\), escribimos \(z=7+0i\), por lo tanto \(a=7\) y \(b=0\):
\[ |z|=\sqrt{7^2+0^2} \]
\[ |z|=\sqrt{49}=7 \]
-
Para \(z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\), se tiene \(a=\frac{1}{2}\) y \(b=\frac{\sqrt{3}}{2}\):
\[ |z|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \]
\[ |z|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{1}=1 \]
Ejercicio 2: interpretación gráfica del módulo
Representa gráficamente en el plano complejo los números del Ejercicio 1 y verifica visualmente que la distancia desde el origen hasta cada punto coincide con el módulo calculado.
Para verificarlo, se representa cada número complejo \(a+bi\) como el punto \((a,b)\) y se dibuja el segmento desde el origen \((0,0)\) hasta ese punto.
| Número complejo | Punto asociado | Distancia al origen |
|---|---|---|
| \(1+i\) | \((1,1)\) | \(\sqrt{2}\) |
| \(-3+4i\) | \((-3,4)\) | \(5\) |
| \(2-2i\) | \((2,-2)\) | \(2\sqrt{2}\) |
| \(-5i\) | \((0,-5)\) | \(5\) |
| \(7\) | \((7,0)\) | \(7\) |
| \(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\) | \(\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) | \(1\) |
En cada caso, la distancia desde \((0,0)\) hasta el punto coincide con el módulo calculado mediante la fórmula \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\).
Ejercicio 3: lugar geométrico con módulo fijo
Si \(|z|=5\), ¿qué figura geométrica describen todos los posibles valores de \(z\) en el plano complejo?
El módulo representa la distancia desde el origen hasta el punto que representa a \(z\).
Entonces, la condición:
\[ |z|=5 \]
significa que todos los puntos están a \(5\) unidades del origen.
Por lo tanto, los posibles valores de \(z\) describen un círculo con centro en el origen \((0,0)\) y radio \(5\).
Ejercicio 4: módulo unitario y parte real nula
Encuentra todos los números complejos \(z\) tales que:
\[ |z|=1 \]
y
\[ \operatorname{Re}(z)=0 \]
Si \(\operatorname{Re}(z)=0\), entonces \(z\) tiene la forma:
\[ z=bi \]
Su módulo es:
\[ |z|=|bi|=\sqrt{0^2+b^2}=\sqrt{b^2}=|b| \]
Como \(|z|=1\), se cumple:
\[ |b|=1 \]
Entonces:
\[ b=1 \quad \text{o} \quad b=-1 \]
Por lo tanto, los números complejos son:
\[ z=i \quad \text{y} \quad z=-i \]
Gráficamente, corresponden a los puntos \((0,1)\) y \((0,-1)\), que están sobre el eje imaginario y a distancia \(1\) del origen.
Ejercicio 5: expresar \(|z|^2\)
Si \(z=a+bi\), expresa \(|z|^2\) en términos de \(a\) y \(b\).
Por definición:
\[ |z|=\sqrt{a^2+b^2} \]
Elevamos al cuadrado ambos lados:
\[ |z|^2=\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^2 \]
Por lo tanto:
\[ |z|^2=a^2+b^2 \]
Ejercicio 6: relación entre módulo y conjugado
Si \(z=a+bi\) y \(\overline{z}\) es su conjugado, demuestra que:
\[ z\cdot\overline{z}=|z|^2 \]
Si \(z=a+bi\), entonces su conjugado es:
\[ \overline{z}=a-bi \]
Multiplicamos:
\[ z\cdot\overline{z}=(a+bi)(a-bi) \]
Desarrollamos:
\[ (a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi-b^2i^2 \]
Los términos \(-abi\) y \(abi\) se cancelan:
\[ =a^2-b^2i^2 \]
Como \(i^2=-1\):
\[ =a^2-b^2(-1) \]
\[ =a^2+b^2 \]
Por otra parte:
\[ |z|^2=\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^2=a^2+b^2 \]
Como ambos resultados son iguales, se concluye que:
\[ z\cdot\overline{z}=|z|^2 \]