Libro de los números complejos
10. Ecuaciones de Segundo Grado con Soluciones Complejas
Ecuaciones de Segundo Grado con Soluciones Complejas
Repaso: ecuaciones de segundo grado y fórmula cuadrática
Ecuación cuadrática
Una ecuación de segundo grado, o ecuación cuadrática, tiene la forma general:
\[ ax^2+bx+c=0 \]
donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales, con \(a\neq 0\).
Fórmula cuadrática
Las soluciones de una ecuación cuadrática se pueden obtener mediante la fórmula:
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
El discriminante y el tipo de soluciones
Discriminante
La expresión que aparece dentro de la raíz cuadrada:
\[ b^2-4ac \]
se llama discriminante de la ecuación cuadrática.
El discriminante determina el tipo de soluciones que tiene la ecuación:
- Si \(b^2-4ac>0\), la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas.
- Si \(b^2-4ac=0\), la ecuación tiene una solución real repetida.
- Si \(b^2-4ac<0\), la ecuación no tiene soluciones reales, pero sí tiene dos soluciones complejas conjugadas.
Soluciones complejas
Cuando el discriminante es negativo
Cuando el discriminante es negativo, la raíz cuadrada que aparece en la fórmula cuadrática corresponde a la raíz de un número negativo. En ese caso usamos la unidad imaginaria \(i\), definida por:
\[ i^2=-1 \]
Así, las soluciones se expresan como números complejos en forma binomial.
Ejemplo: resolver \(x^2+2x+5=0\)
Identificamos los coeficientes:
\[ a=1,\qquad b=2,\qquad c=5 \]
Calculamos el discriminante:
\[ b^2-4ac=2^2-4\cdot 1\cdot 5 \]
\[ =4-20=-16 \]
Como el discriminante es negativo, las soluciones serán complejas.
Aplicamos la fórmula cuadrática:
\[ x=\frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2\cdot 1} \]
Como \(\sqrt{-16}=4i\), queda:
\[ x=\frac{-2\pm 4i}{2} \]
Simplificamos:
\[ x=-1\pm 2i \]
Por lo tanto, las soluciones son:
\[ x_1=-1+2i,\qquad x_2=-1-2i \]
Estas soluciones son complejas conjugadas.
Interpretación gráfica
Parábola sin intersección con el eje \(x\)
Las soluciones reales de una ecuación cuadrática corresponden a los puntos donde la parábola \(y=ax^2+bx+c\) intersecta el eje \(x\).
Si la ecuación no tiene soluciones reales, entonces la parábola no corta el eje \(x\). En ese caso, sus soluciones son complejas.
Ejercicios
Ejercicio 1: discriminante y tipo de soluciones
Calcula el discriminante de las siguientes ecuaciones cuadráticas y determina si tienen soluciones reales o complejas:
- \(x^2-4x+3=0\)
- \(x^2+2x+1=0\)
- \(x^2+x+1=0\)
- \(2x^2-x+3=0\)
Usamos el discriminante:
\[ \Delta=b^2-4ac \]
-
Para \(x^2-4x+3=0\), se tiene \(a=1\), \(b=-4\), \(c=3\):
\[ \Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3 \]
\[ \Delta=16-12=4 \]
Como \(\Delta>0\), tiene dos soluciones reales y distintas.
-
Para \(x^2+2x+1=0\), se tiene \(a=1\), \(b=2\), \(c=1\):
\[ \Delta=2^2-4\cdot 1\cdot 1 \]
\[ \Delta=4-4=0 \]
Como \(\Delta=0\), tiene una solución real repetida.
-
Para \(x^2+x+1=0\), se tiene \(a=1\), \(b=1\), \(c=1\):
\[ \Delta=1^2-4\cdot 1\cdot 1 \]
\[ \Delta=1-4=-3 \]
Como \(\Delta<0\), tiene dos soluciones complejas conjugadas.
-
Para \(2x^2-x+3=0\), se tiene \(a=2\), \(b=-1\), \(c=3\):
\[ \Delta=(-1)^2-4\cdot 2\cdot 3 \]
\[ \Delta=1-24=-23 \]
Como \(\Delta<0\), tiene dos soluciones complejas conjugadas.
Ejercicio 2: resolver ecuaciones cuadráticas
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas. Si las soluciones son complejas, exprésalas en forma binomial:
- \(x^2-6x+9=0\)
- \(x^2+4=0\)
- \(x^2-2x+2=0\)
- \(2x^2-x+1=0\)
- \(x^2+9=0\)
- \(x^2-4x+5=0\)
- \(3x^2+2x+1=0\)
- \(x^2+x+1=0\)
-
\[ x^2-6x+9=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-3)^2=0 \]
Por lo tanto:
\[ x=3 \]
Es una solución real repetida.
-
\[ x^2+4=0 \]
\[ x^2=-4 \]
\[ x=\pm\sqrt{-4} \]
\[ x=\pm 2i \]
-
Para \(x^2-2x+2=0\), se tiene \(a=1\), \(b=-2\), \(c=2\):
\[ x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1} \]
\[ x=\frac{2\pm\sqrt{4-8}}{2} \]
\[ x=\frac{2\pm\sqrt{-4}}{2} \]
\[ x=\frac{2\pm 2i}{2} \]
\[ x=1\pm i \]
-
Para \(2x^2-x+1=0\), se tiene \(a=2\), \(b=-1\), \(c=1\):
\[ x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 2\cdot 1}}{2\cdot 2} \]
\[ x=\frac{1\pm\sqrt{1-8}}{4} \]
\[ x=\frac{1\pm\sqrt{-7}}{4} \]
\[ x=\frac{1\pm i\sqrt{7}}{4} \]
En forma binomial:
\[ x=\frac{1}{4}\pm\frac{\sqrt{7}}{4}i \]
-
\[ x^2+9=0 \]
\[ x^2=-9 \]
\[ x=\pm\sqrt{-9} \]
\[ x=\pm 3i \]
-
Para \(x^2-4x+5=0\), se tiene \(a=1\), \(b=-4\), \(c=5\):
\[ x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2\cdot 1} \]
\[ x=\frac{4\pm\sqrt{16-20}}{2} \]
\[ x=\frac{4\pm\sqrt{-4}}{2} \]
\[ x=\frac{4\pm 2i}{2} \]
\[ x=2\pm i \]
-
Para \(3x^2+2x+1=0\), se tiene \(a=3\), \(b=2\), \(c=1\):
\[ x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 3\cdot 1}}{2\cdot 3} \]
\[ x=\frac{-2\pm\sqrt{4-12}}{6} \]
\[ x=\frac{-2\pm\sqrt{-8}}{6} \]
Como \(\sqrt{-8}=2\sqrt{2}i\), queda:
\[ x=\frac{-2\pm 2\sqrt{2}i}{6} \]
Simplificando:
\[ x=-\frac{1}{3}\pm\frac{\sqrt{2}}{3}i \]
-
Para \(x^2+x+1=0\), se tiene \(a=1\), \(b=1\), \(c=1\):
\[ x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1} \]
\[ x=\frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2} \]
\[ x=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2} \]
\[ x=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2} \]
En forma binomial:
\[ x=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i \]
Ejercicio 3: construir una ecuación desde sus soluciones
Escribe una ecuación de segundo grado que tenga como soluciones:
- \(2+i\) y \(2-i\)
- \(-1+3i\) y \(-1-3i\)
- \(i\) y \(-i\)
- \(2i\) y \(-2i\)
- \(1+\sqrt{2}i\) y \(1-\sqrt{2}i\)
- \(-3+\frac{1}{2}i\) y \(-3-\frac{1}{2}i\)
Si las soluciones de una ecuación cuadrática son \(r_1\) y \(r_2\), entonces una ecuación posible es:
\[ (x-r_1)(x-r_2)=0 \]
-
Soluciones: \(2+i\) y \(2-i\).
\[ (x-(2+i))(x-(2-i))=0 \]
\[ (x-2-i)(x-2+i)=0 \]
Esto es un producto de conjugados:
\[ (x-2)^2-i^2=0 \]
\[ (x-2)^2+1=0 \]
\[ x^2-4x+4+1=0 \]
\[ x^2-4x+5=0 \]
-
Soluciones: \(-1+3i\) y \(-1-3i\).
\[ (x-(-1+3i))(x-(-1-3i))=0 \]
\[ (x+1-3i)(x+1+3i)=0 \]
Producto de conjugados:
\[ (x+1)^2-(3i)^2=0 \]
\[ (x+1)^2-9i^2=0 \]
\[ (x+1)^2+9=0 \]
\[ x^2+2x+1+9=0 \]
\[ x^2+2x+10=0 \]
-
Soluciones: \(i\) y \(-i\).
\[ (x-i)(x+i)=0 \]
\[ x^2-i^2=0 \]
\[ x^2+1=0 \]
-
Soluciones: \(2i\) y \(-2i\).
\[ (x-2i)(x+2i)=0 \]
\[ x^2-(2i)^2=0 \]
\[ x^2-4i^2=0 \]
\[ x^2+4=0 \]
-
Soluciones: \(1+\sqrt{2}i\) y \(1-\sqrt{2}i\).
\[ (x-(1+\sqrt{2}i))(x-(1-\sqrt{2}i))=0 \]
\[ (x-1-\sqrt{2}i)(x-1+\sqrt{2}i)=0 \]
Producto de conjugados:
\[ (x-1)^2-(\sqrt{2}i)^2=0 \]
\[ (x-1)^2-2i^2=0 \]
\[ (x-1)^2+2=0 \]
\[ x^2-2x+1+2=0 \]
\[ x^2-2x+3=0 \]
-
Soluciones: \(-3+\frac{1}{2}i\) y \(-3-\frac{1}{2}i\).
\[ \left(x-\left(-3+\frac{1}{2}i\right)\right) \left(x-\left(-3-\frac{1}{2}i\right)\right)=0 \]
\[ \left(x+3-\frac{1}{2}i\right) \left(x+3+\frac{1}{2}i\right)=0 \]
Producto de conjugados:
\[ (x+3)^2-\left(\frac{1}{2}i\right)^2=0 \]
\[ (x+3)^2-\frac{1}{4}i^2=0 \]
\[ (x+3)^2+\frac{1}{4}=0 \]
\[ x^2+6x+9+\frac{1}{4}=0 \]
\[ x^2+6x+\frac{37}{4}=0 \]
Una ecuación equivalente con coeficientes enteros es:
\[ 4x^2+24x+37=0 \]
Ejercicio 4: cantidad de soluciones complejas
¿Es posible que una ecuación cuadrática con coeficientes reales tenga una sola solución compleja no real? Justifica tu respuesta.
No es posible.
Si una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene una solución compleja no real, entonces también tiene como solución a su conjugada.
Esto se observa en la fórmula cuadrática:
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
Cuando \(b^2-4ac<0\), la raíz produce una parte imaginaria. El símbolo \(\pm\) genera dos soluciones:
\[ p+qi \quad \text{y} \quad p-qi \]
Por eso, las soluciones complejas no reales de una ecuación cuadrática con coeficientes reales siempre aparecen en pares conjugados.