Libro de los números complejos
11. Números Complejos y Circuitos de CA
Números Complejos y Circuitos de Corriente Alterna (CA)
Introducción
Números complejos en corriente alterna
Los números complejos son una herramienta importante en el análisis de circuitos de corriente alterna (CA). A diferencia de la corriente continua (CC), donde la corriente y el voltaje son constantes, en la CA varían sinusoidalmente con el tiempo.
Esta variación hace que el análisis sea más complejo, y los números complejos ayudan a representar y operar cantidades eléctricas de forma más ordenada.
Conceptos básicos simplificados
Impedancia
La impedancia, representada por \(Z\), es la oposición total que un circuito de corriente alterna ofrece al paso de la corriente.
En este contexto, la impedancia se representa como un número complejo:
\[ Z=R+jX \]
Donde:
- \(R\) es la parte real y representa la resistencia.
- \(X\) es la parte imaginaria y representa la reactancia.
- \(j\) es la unidad imaginaria usada en ingeniería eléctrica, equivalente a \(i\) en matemática.
Componentes pasivos
De forma simplificada, las impedancias de algunos componentes se expresan así:
- Resistencia: \[ Z_R=R \]
- Inductor: \[ Z_L=j\omega L \]
- Capacitor: \[ Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-\frac{j}{\omega C} \]
En estas expresiones, \(\omega\) representa la frecuencia angular.
Cálculo de impedancias
Impedancias en serie y en paralelo
Si las impedancias están conectadas en serie, se suman directamente:
\[ Z_{\text{total}}=Z_1+Z_2+\cdots+Z_n \]
Si las impedancias están conectadas en paralelo, se trabaja con sus inversos:
\[ \frac{1}{Z_{\text{total}}}=\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}+\cdots+\frac{1}{Z_n} \]
Ejemplo 1: resistencia e inductor en serie
Se tiene:
\[ R=100\,\Omega,\qquad L=0{,}5\,H,\qquad \omega=100\,\text{rad/s} \]
La impedancia de la resistencia es:
\[ Z_R=100\,\Omega \]
La impedancia del inductor es:
\[ Z_L=j\omega L \]
\[ Z_L=j\cdot 100\cdot 0{,}5=50j\,\Omega \]
Como están en serie, se suman:
\[ Z_{\text{total}}=Z_R+Z_L \]
\[ Z_{\text{total}}=100+50j\,\Omega \]
Ejemplo 2: resistencia y capacitor en serie
Se tiene:
\[ R=200\,\Omega,\qquad C=10\,\mu F,\qquad \omega=1000\,\text{rad/s} \]
Como \(10\,\mu F=10\cdot 10^{-6}F\), la impedancia del capacitor es:
\[ Z_C=-\frac{j}{\omega C} \]
\[ Z_C=-\frac{j}{1000\cdot 10\cdot 10^{-6}} \]
\[ Z_C=-\frac{j}{0{,}01} \]
\[ Z_C=-100j\,\Omega \]
La impedancia de la resistencia es:
\[ Z_R=200\,\Omega \]
Como están en serie:
\[ Z_{\text{total}}=Z_R+Z_C=200-100j\,\Omega \]
Ejemplo 3: resistencia e inductor en paralelo
Se tiene:
\[ R=100\,\Omega,\qquad L=0{,}5\,H,\qquad \omega=100\,\text{rad/s} \]
Las impedancias son:
\[ Z_R=100\,\Omega \]
\[ Z_L=j\omega L=j\cdot 100\cdot 0{,}5=50j\,\Omega \]
Como están en paralelo:
\[ \frac{1}{Z_{\text{total}}}=\frac{1}{Z_R}+\frac{1}{Z_L} \]
\[ \frac{1}{Z_{\text{total}}}=\frac{1}{100}+\frac{1}{50j} \]
Como \(\frac{1}{j}=-j\), se tiene:
\[ \frac{1}{50j}=-\frac{j}{50} \]
Entonces:
\[ \frac{1}{Z_{\text{total}}}=\frac{1}{100}-\frac{j}{50} \]
Con denominador común \(100\):
\[ \frac{1}{Z_{\text{total}}}=\frac{1-2j}{100} \]
Invertimos para obtener \(Z_{\text{total}}\):
\[ Z_{\text{total}}=\frac{100}{1-2j} \]
Multiplicamos por el conjugado del denominador:
\[ Z_{\text{total}}=\frac{100}{1-2j}\cdot\frac{1+2j}{1+2j} \]
\[ Z_{\text{total}}=\frac{100+200j}{1+4} \]
\[ Z_{\text{total}}=\frac{100+200j}{5} \]
\[ Z_{\text{total}}=20+40j\,\Omega \]
Ejercicios
Ejercicio 1: resistencia e inductor en serie
Un circuito en serie tiene una resistencia de \(R=50\,\Omega\) y un inductor con impedancia \(30j\,\Omega\). Calcula la impedancia total del circuito.
Como los componentes están en serie, se suman sus impedancias:
\[ Z_{\text{total}}=Z_R+Z_L \]
La resistencia tiene impedancia:
\[ Z_R=50\,\Omega \]
El inductor tiene impedancia:
\[ Z_L=30j\,\Omega \]
Por lo tanto:
\[ Z_{\text{total}}=50+30j\,\Omega \]
Ejercicio 2: resistencia y capacitor en serie
Un circuito en serie tiene una resistencia de \(R=200\,\Omega\) y un capacitor con impedancia \(-50j\,\Omega\). Calcula la impedancia total.
Como las impedancias están en serie, se suman directamente:
\[ Z_{\text{total}}=Z_R+Z_C \]
Reemplazamos:
\[ Z_{\text{total}}=200+(-50j) \]
\[ Z_{\text{total}}=200-50j\,\Omega \]
Ejercicio 3: impedancias en paralelo
Dos impedancias, \(Z_1=100\,\Omega\) y \(Z_2=200j\,\Omega\), están conectadas en paralelo. Calcula la impedancia total.
Para impedancias en paralelo:
\[ \frac{1}{Z_{\text{total}}}=\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2} \]
Reemplazamos:
\[ \frac{1}{Z_{\text{total}}}=\frac{1}{100}+\frac{1}{200j} \]
Como \(\frac{1}{j}=-j\), se tiene:
\[ \frac{1}{200j}=-\frac{j}{200} \]
Entonces:
\[ \frac{1}{Z_{\text{total}}}=\frac{1}{100}-\frac{j}{200} \]
Con denominador común \(200\):
\[ \frac{1}{Z_{\text{total}}}=\frac{2-j}{200} \]
Invertimos:
\[ Z_{\text{total}}=\frac{200}{2-j} \]
Multiplicamos por el conjugado del denominador:
\[ Z_{\text{total}}=\frac{200}{2-j}\cdot\frac{2+j}{2+j} \]
\[ Z_{\text{total}}=\frac{400+200j}{4+1} \]
\[ Z_{\text{total}}=\frac{400+200j}{5} \]
\[ Z_{\text{total}}=80+40j\,\Omega \]
Ejercicio 4: representación en el plano de Gauss
Representa en el plano de Gauss las impedancias:
\[ Z_1=20+40j \]
\[ Z_2=-60-10j \]
Luego representa la resultante de sumarlas.
Cada impedancia se representa como un punto o vector en el plano de Gauss:
- \(Z_1=20+40j\) corresponde al punto \((20,40)\).
- \(Z_2=-60-10j\) corresponde al punto \((-60,-10)\).
Sumamos las impedancias:
\[ Z_1+Z_2=(20+40j)+(-60-10j) \]
\[ Z_1+Z_2=(20-60)+(40-10)j \]
\[ Z_1+Z_2=-40+30j \]
La resultante corresponde al punto \((-40,30)\) o al vector desde el origen hasta \((-40,30)\).