Repaso de Conceptos Básicos y Ángulos en la Circunferencia
2. Ángulo Central y Ángulo Inscrito
Objetivos
- Relacionar ángulos centrales e inscritos con sus arcos.
- Calcular medidas de arcos y ángulos.
- Usar el caso de semicircunferencia para reconocer ángulos rectos.
Relaciones fundamentales
- El ángulo central mide lo mismo que el arco que subtiende.
- El ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende.
- Un ángulo inscrito en una semicircunferencia mide \(90^\circ\).
Ejemplo: mismo arco
Si el arco menor \( \widehat{AB} \) mide \(110^\circ\), entonces el ángulo central \( \angle AOB \) también mide \(110^\circ\).
En cambio, un ángulo inscrito como \( \angle ACB \), que subtiende el mismo arco, mide la mitad: \(55^\circ\).
Ejercicio 1
Un arco \( \widehat{AB} \) mide \(84^\circ\). Calcula el ángulo central y un ángulo inscrito que subtienda ese arco.
El ángulo central mide \(84^\circ\). El ángulo inscrito mide la mitad: \(42^\circ\).
Ejercicio 2
Un ángulo inscrito mide \(37^\circ\). ¿Cuánto mide el arco que subtiende?
El arco mide el doble del ángulo inscrito: \(2\cdot 37^\circ = 74^\circ\).
Ejercicio 3
Si el arco \( \widehat{AB} \) mide \(132^\circ\), ¿cuánto mide un ángulo inscrito que subtienda ese arco?
El ángulo inscrito mide la mitad del arco: \(132^\circ : 2 = 66^\circ\).
Ejercicio 4
En la figura, el arco menor \( \widehat{AB} \) está marcado en rojo. Explica por qué \( \angle AOB \) y \( \angle ACB \) se relacionan con el mismo arco.
Ambos ángulos usan los mismos extremos \(A\) y \(B\). Por eso subtienden el mismo arco \( \widehat{AB} \). La diferencia es que \( \angle AOB \) tiene vértice en el centro, mientras que \( \angle ACB \) tiene vértice sobre la circunferencia.
Ejercicio 5
En una circunferencia de centro \(O\), los segmentos \(OA\) y \(OB\) son radios. Si \( \angle AOB = 70^\circ \), ¿cuánto miden los otros dos ángulos del triángulo \(AOB\)?
Como \(OA\) y \(OB\) son radios, tienen la misma medida. Entonces el triángulo \(AOB\) es isósceles.
Los otros dos ángulos son iguales: \[ \frac{180^\circ - 70^\circ}{2}=55^\circ \] Por lo tanto, cada uno mide \(55^\circ\).
Ejercicio 6
Si \(AB\) es diámetro y \(C\) está sobre la circunferencia, ¿cuánto mide \( \angle ACB \)? Explica usando arcos.
Como \(AB\) es diámetro, el arco \( \widehat{AB} \) corresponde a una semicircunferencia y mide \(180^\circ\).
El ángulo inscrito \( \angle ACB \) mide la mitad: \[ \frac{180^\circ}{2}=90^\circ \] Por lo tanto, \( \angle ACB = 90^\circ \).
Ejercicio 7
Dos ángulos inscritos \( \angle ACB \) y \( \angle ADB \) subtienden el mismo arco \( \widehat{AB} \). Si \( \angle ACB = 38^\circ \), ¿cuánto mide \( \angle ADB \)?
Mide \(38^\circ\). Los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco tienen la misma medida.
Ejercicio 8
En una circunferencia, el arco menor \( \widehat{AB} \) mide \(140^\circ\). Un punto \(C\) está sobre la circunferencia y forma el ángulo inscrito \( \angle ACB \). ¿Puede \( \angle ACB \) medir \(140^\circ\)? Justifica.
No. Si \( \angle ACB \) subtiende ese arco, debe medir la mitad: \[ \angle ACB = \frac{140^\circ}{2}=70^\circ \] El que mide lo mismo que el arco es el ángulo central, no el inscrito.
Ejercicio 9
El arco menor \( \widehat{AB} \) mide \(120^\circ\). ¿Cuánto mide el arco mayor \( \widehat{AB} \)? ¿Cuánto mide un ángulo inscrito que subtienda el arco mayor?
La circunferencia completa mide \(360^\circ\). Entonces el arco mayor mide: \[ 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ \]
Un ángulo inscrito que subtienda ese arco mayor mide la mitad: \[ \frac{240^\circ}{2}=120^\circ \]
Ejercicio 10
Si \(AB\) es diámetro, \(C\) está sobre la circunferencia y \( \angle CAB = 35^\circ \), ¿cuánto mide \( \angle CBA \)?
Como \(AB\) es diámetro, \( \angle ACB = 90^\circ \). En el triángulo \(ACB\), la suma de los ángulos interiores es \(180^\circ\): \[ \angle CBA = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \]
Por lo tanto, \( \angle CBA = 55^\circ \).
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