Repaso de Conceptos Básicos y Ángulos en la Circunferencia
3. Otros Ángulos en la Circunferencia
Objetivos
- Calcular ángulos semi-inscritos, interiores y exteriores.
- Reconocer cuándo usar mitad, semisuma o semidiferencia.
- Conectar relaciones angulares con cuerdas, tangentes y secantes.
Tres casos frecuentes
- Ángulo semi-inscrito: mide la mitad del arco que intercepta: \[ \frac{a}{2} \]
- Ángulo interior: cuando dos cuerdas se cortan dentro de la circunferencia, el ángulo mide la semisuma de los arcos interceptados: \[ \frac{a+b}{2} \]
- Ángulo exterior: cuando dos secantes se cortan fuera de la circunferencia, el ángulo mide la semidiferencia de los arcos interceptados: \[ \frac{a-b}{2} \]
¿Cómo decidir qué fórmula usar?
Primero mira dónde está el vértice del ángulo.
- Si el vértice está sobre la circunferencia y uno de los lados es tangente, es semi-inscrito.
- Si el vértice está dentro de la circunferencia, se usa semisuma.
- Si el vértice está fuera de la circunferencia, se usa semidiferencia.
Ejemplo 1: ángulo semi-inscrito
Un ángulo semi-inscrito está formado por una tangente y una cuerda. Si intercepta un arco de \(124^\circ\), entonces el ángulo mide: \[ \frac{124^\circ}{2}=62^\circ \]
Ejemplo 2: ángulo interior
Si dos cuerdas se cortan dentro de la circunferencia e interceptan arcos de \(80^\circ\) y \(46^\circ\), entonces el ángulo interior mide: \[ \frac{80^\circ+46^\circ}{2}=63^\circ \]
Ejemplo 3: ángulo exterior
Si dos secantes se cortan fuera de la circunferencia e interceptan arcos de \(150^\circ\) y \(70^\circ\), entonces el ángulo exterior mide: \[ \frac{150^\circ-70^\circ}{2}=40^\circ \]
Ejercicio 1
Un ángulo semi-inscrito intercepta un arco de \(124^\circ\). ¿Cuánto mide?
Mide la mitad del arco: \[ \frac{124^\circ}{2}=62^\circ \]
Ejercicio 2
Dos cuerdas se cortan dentro de una circunferencia. Los arcos interceptados miden \(80^\circ\) y \(46^\circ\). Calcula el ángulo interior.
Como el vértice está dentro de la circunferencia, se usa semisuma: \[ \frac{80^\circ+46^\circ}{2}=63^\circ \]
Ejercicio 3
Dos secantes desde un punto exterior interceptan arcos de \(132^\circ\) y \(52^\circ\). Calcula el ángulo exterior.
Como el vértice está fuera de la circunferencia, se usa semidiferencia: \[ \frac{132^\circ-52^\circ}{2}=40^\circ \]
Ejercicio 4
Un ángulo interior mide \(58^\circ\) y uno de sus arcos mide \(70^\circ\). ¿Cuánto mide el otro arco?
Como es un ángulo interior: \[ 58^\circ=\frac{70^\circ+x}{2} \] Multiplicamos por \(2\): \[ 116^\circ=70^\circ+x \] Entonces: \[ x=46^\circ \]
Ejercicio 5
Observa la figura. El ángulo tiene vértice en \(A\), sobre la circunferencia, y está formado por una tangente y una cuerda. Si el arco interceptado mide \(98^\circ\), ¿cuánto mide el ángulo?
Es un ángulo semi-inscrito, por lo tanto mide la mitad del arco: \[ \frac{98^\circ}{2}=49^\circ \]
Ejercicio 6
Dos cuerdas se cortan dentro de una circunferencia. Los arcos interceptados miden \(118^\circ\) y \(42^\circ\). Calcula el ángulo interior.
Como el vértice está dentro, se suman los arcos y luego se divide por \(2\): \[ \frac{118^\circ+42^\circ}{2} = \frac{160^\circ}{2} = 80^\circ \]
Ejercicio 7
Observa la figura. Dos secantes se cortan en un punto exterior \(P\). El arco mayor mide \(160^\circ\) y el arco menor mide \(72^\circ\). ¿Cuánto mide el ángulo exterior?
Como el vértice está fuera de la circunferencia, se usa semidiferencia: \[ \frac{160^\circ-72^\circ}{2} = \frac{88^\circ}{2} = 44^\circ \]
Ejercicio 8
Un ángulo exterior mide \(35^\circ\). Si el arco mayor mide \(130^\circ\), ¿cuánto mide el arco menor?
En un ángulo exterior: \[ 35^\circ=\frac{130^\circ-x}{2} \] Multiplicamos por \(2\): \[ 70^\circ=130^\circ-x \] Entonces: \[ x=60^\circ \] El arco menor mide \(60^\circ\).
Ejercicio 9
Decide qué fórmula corresponde en cada caso: mitad, semisuma o semidiferencia.
- Dos cuerdas se cortan dentro de la circunferencia.
- Una tangente y una cuerda forman un ángulo sobre la circunferencia.
- Dos secantes se cortan fuera de la circunferencia.
- Dentro de la circunferencia: semisuma.
- Sobre la circunferencia con tangente y cuerda: mitad del arco.
- Fuera de la circunferencia: semidiferencia.
Ejercicio 10
Un estudiante calcula un ángulo exterior usando \[ \frac{100^\circ+40^\circ}{2}=70^\circ \] ¿Cuál es el error?
El error es usar semisuma. Como el ángulo es exterior, debe usarse semidiferencia: \[ \frac{100^\circ-40^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \]