4. Selección Múltiple: Relaciones Métricas

Objetivos

  • Practicar relaciones métricas de cuerdas, secantes y tangentes.
  • Distinguir segmentos exteriores, interiores y totales.
  • Resolver ecuaciones simples a partir de potencia de un punto.
  • Elegir correctamente entre cuerdas interiores, dos secantes y tangente-secante.

Estrategia

Antes de calcular, identifica el tipo de figura:

  • Cuerdas interiores: \(AP\cdot PB=CP\cdot PD\).
  • Dos secantes exteriores: exterior por total: \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\).
  • Tangente y secante: \(PT^2=PA\cdot PB\).
  • Dos tangentes desde un mismo punto: tienen igual longitud.

Ejercicio 1

Dos cuerdas se cortan en \(P\). Si \(AP=6\), \(PB=4\) y \(CP=8\), calcula \(PD\).

  1. \(PD=2\)
  2. \(PD=3\)
  3. \(PD=6\)
  4. \(PD=12\)

Ejercicio 2

Desde \(P\), una secante tiene \(PA=5\) y \(AB=7\). Otra secante tiene \(PC=4\). Calcula \(PD\).

  1. \(PD=12\)
  2. \(PD=13\)
  3. \(PD=15\)
  4. \(PD=20\)

Ejercicio 3

Si \(PT=8\) y \(PA=4\), calcula \(PB\).

  1. \(PB=8\)
  2. \(PB=12\)
  3. \(PB=16\)
  4. \(PB=32\)

Ejercicio 4

En la relación \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\), cuando se trabaja con dos secantes desde un punto exterior, ¿qué representa \(PB\)?

  1. La parte interior de la secante.
  2. La longitud total desde \(P\) hasta \(B\).
  3. La distancia entre los puntos interiores.
  4. El radio de la circunferencia.

Ejercicio 5

Si \(PA=5\) y \(AB=11\), calcula \(PT\).

  1. \(PT=\sqrt{55}\)
  2. \(PT=16\)
  3. \(PT=20\)
  4. \(PT=4\sqrt{5}\)

Ejercicio 6

Dos cuerdas se cortan en \(P\). Si \(AP=2x\), \(PB=5\), \(CP=4\) y \(PD=x+3\), calcula \(x\).

  1. \(x=1\)
  2. \(x=2\)
  3. \(x=3\)
  4. \(x=4\)

Ejercicio 7

Si \(PA=6\), \(AB=8\), \(PC=x\) y \(CD=10\), ¿cuál ecuación representa correctamente el problema?

  1. \(6\cdot 8=x\cdot 10\)
  2. \(6\cdot 14=x(x+10)\)
  3. \(6+14=x+10\)
  4. \(6^2=x(x+10)\)

Ejercicio 8

Si \(PT=12\) y \(PA=9\), calcula \(PB\).

  1. \(PB=12\)
  2. \(PB=15\)
  3. \(PB=16\)
  4. \(PB=21\)

Ejercicio 9

La potencia interior de un punto es \(24\). Si uno de los segmentos mide \(4\), ¿cuánto mide el otro segmento de esa misma cuerda?

  1. \(4\)
  2. \(6\)
  3. \(12\)
  4. \(24\)

Ejercicio 10

Desde un mismo punto exterior se trazan dos tangentes a una circunferencia. Si sus longitudes son \(3x+2\) y \(5x-6\), calcula \(x\).

  1. \(x=2\)
  2. \(x=3\)
  3. \(x=4\)
  4. \(x=6\)

Ejercicio 11

Un estudiante resuelve un problema de tangente y secante así: \[ PT^2=PA\cdot AB \] ¿Cuál es el error?

  1. Debe usar \(AB\) dos veces.
  2. Debe usar \(PA+AB\), porque la fórmula usa la longitud total \(PB\).
  3. Debe sumar \(PA+PT\).
  4. No hay error.

Ejercicio 12

Si \(PA=x\), \(AB=6\), \(PC=4\) y \(CD=8\), calcula \(x\).

  1. \(x=2\)
  2. \(x=3\)
  3. \(x=4\)
  4. \(x=8\)

Ejercicio 13

Dos cuerdas se cortan en \(P\). Si \(AP=7\), \(PB=6\) y \(CP=3\), ¿cuánto mide la cuerda completa \(CD\)?

  1. \(CD=11\)
  2. \(CD=14\)
  3. \(CD=17\)
  4. \(CD=21\)

Ejercicio 14

Una secante tiene parte exterior \(6\) y longitud total \(18\). Otra secante tiene parte exterior \(9\). ¿Cuál es la longitud total de la segunda secante?

  1. \(9\)
  2. \(12\)
  3. \(18\)
  4. \(27\)