1. Teorema de las Cuerdas y Potencia de un Punto

Teorema de las Cuerdas y Potencia de un Punto (Interior)

Teorema de las Cuerdas

Teorema: Si dos cuerdas de una circunferencia se intersectan en un punto interior, el producto de las longitudes de los dos segmentos de una cuerda es igual al producto de las longitudes de los dos segmentos de la otra cuerda.

(Insertar imagen en Moodle: Circunferencia, dos cuerdas AB y CD que se intersectan en un punto P interno. Los segmentos AP, PB, CP y PD deben estar claramente etiquetados).

En la figura, se cumple que:

\[ AP \cdot PB = CP \cdot PD \]

Ejemplo: Si AP = 6, PB = 4, y CP = 3, entonces 6 * 4 = 3 * PD => PD = 8.

Demostración del Teorema de las Cuerdas

Aunque existen varias formas de demostrar este teorema, aquí presentaremos una demostración que utiliza triángulos semejantes:

(Insertar imagen en moodle, idealmente se vean los triangulos semejantes en otro color o sombreado)

  1. Dibujar los triángulos: Considera la circunferencia con las cuerdas AB y CD intersectándose en P. Dibuja los segmentos AC y BD, formando los triángulos APC y BPD.
  2. Ángulos inscritos: Observa que ∠CAP y ∠BDP subtienden el mismo arco BC, y que ∠ACP y ∠DBP subtienden el mismo arco AD. Por el teorema del ángulo inscrito, ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son iguales. Por lo tanto:
    • ∠CAP = ∠BDP
    • ∠ACP = ∠DBP
  3. Semejanza de triángulos: Los triángulos APC y BPD tienen dos ángulos iguales (por el paso anterior). Por el criterio de semejanza AA (ángulo-ángulo), estos triángulos son semejantes.
    ΔAPC ∼ ΔDPB
  4. Proporcionalidad de lados: Como los triángulos son semejantes, sus lados correspondientes son proporcionales. En particular: \[ \frac{AP}{DP} = \frac{CP}{BP} \]
  5. Producto cruzado: Multiplicando cruzado en la proporción anterior, obtenemos: \[ AP \cdot PB = CP \cdot PD \] Que es lo que queríamos demostrar.

Potencia de un Punto (respecto a una circunferencia)

El concepto de *potencia de un punto* generaliza el teorema de las cuerdas. Por ahora, consideraremos solo el caso en que el punto P está *dentro* de la circunferencia.

Definición: Si P es un punto *interior* a una circunferencia, y se trazan dos cuerdas AB y CD que pasan por P, entonces el producto AP * PB es *constante*, independientemente de la elección de las cuerdas. Este producto constante se llama la *potencia del punto P con respecto a la circunferencia*.

(Insertar imagen en Moodle: Circunferencia, punto P interior, varias cuerdas que pasan por P).

Es decir, si trazamos *cualquier* cuerda que pase por P, el producto de las longitudes de los dos segmentos en que P divide a la cuerda será *siempre el mismo*.

Ejercicios

Ejercicio 1: En una circunferencia, dos cuerdas, AB y CD, se intersectan en un punto P. Si AP = 5, PB = 8, y CP = 4, calcula la longitud de PD.

Ejercicio 2: En una circunferencia, dos cuerdas, MN y PQ, se intersectan en un punto R. Si MR = 6, RN = 4, y PR = RQ, calcula la longitud de PR.

Ejercicio 3: (Insertar en Moodle una imagen de una circunferencia con dos cuerdas que se intersectan, y con algunas longitudes dadas y otras como incógnitas. Asegurarse de que se pueda aplicar el teorema de las cuerdas).

En la figura, calcula el valor de x.

Ejercicio 4: Dos cuerdas, AB y CD, de una circunferencia se intersectan en un punto P. Se sabe que AB = 10, CD = 11, y AP = 4. Calcula las longitudes de PB, CP y PD, sabiendo que CP es mayor que PD.

Ejercicio 5 En la circunferencia de centro O, las cuerdas AB y CD se intersectan en el punto E. Si AE = x, EB = x + 1, CE = x - 1 y ED = x +3 . Hallar las medidas de los segmentos AE, EB, CE y ED.

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