Relaciones Métricas con Cuerdas, Secantes y Tangentes
1. Teorema de las Cuerdas y Potencia de un Punto
Objetivos
- Aplicar el teorema de cuerdas que se intersectan en el interior.
- Resolver longitudes desconocidas mediante productos iguales.
- Interpretar la potencia de un punto interior.
Teorema de las cuerdas
Si las cuerdas \( \overline{AB} \) y \( \overline{CD} \) se intersectan en un punto interior \(P\), entonces:
\[ AP\cdot PB = CP\cdot PD \]
Idea clave
El punto de intersección divide cada cuerda en dos segmentos. La relación se arma multiplicando los dos tramos de una cuerda e igualando con el producto de los dos tramos de la otra.
Ejemplo directo
Si \(AP=6\), \(PB=4\) y \(CP=3\), calcula \(PD\).
Aplicamos: \[ AP\cdot PB = CP\cdot PD \] \[ 6\cdot 4 = 3\cdot PD \] \[ 24 = 3\cdot PD \] \[ PD=8 \]
Ejercicio 1
Si \(AP=5\), \(PB=8\) y \(CP=4\), calcula \(PD\).
\[ AP\cdot PB = CP\cdot PD \] \[ 5\cdot 8 = 4\cdot PD \] \[ 40 = 4\cdot PD \] \[ PD=10 \]
Ejercicio 2
Si \(AP=9\), \(PB=4\) y \(CP=6\), calcula \(PD\).
\[ 9\cdot 4 = 6\cdot PD \] \[ 36 = 6\cdot PD \] \[ PD=6 \]
Ejercicio 3
Dos cuerdas se intersectan en \(P\). Si \(AP=3\), \(PB=12\) y \(CP=4\), ¿cuánto mide \(PD\)?
\[ 3\cdot 12 = 4\cdot PD \] \[ 36 = 4\cdot PD \] \[ PD=9 \]
Ejercicio 4
Si \(MR=6\), \(RN=4\) y \(PR=RQ\), calcula \(PR\).
Sea \(x=PR=RQ\). Entonces: \[ MR\cdot RN = PR\cdot RQ \] \[ 6\cdot 4 = x\cdot x \] \[ 24=x^2 \] \[ x=\sqrt{24}=2\sqrt{6} \] Por lo tanto, \(PR=2\sqrt{6}\).
Ejercicio 5
Dos cuerdas tienen \(AB=10\), \(AP=4\), \(CD=11\) y \(CP>PD\). Calcula \(PB\), \(CP\) y \(PD\).
Como \(AB=10\) y \(AP=4\): \[ PB=10-4=6 \]
Luego: \[ AP\cdot PB=CP\cdot PD \] \[ 4\cdot 6=CP\cdot PD \] \[ CP\cdot PD=24 \]
Además: \[ CP+PD=11 \] Los números que suman \(11\) y multiplican \(24\) son \(8\) y \(3\). Como \(CP>PD\), entonces: \[ CP=8,\quad PD=3 \]
Ejercicio 6
Si \(AE=x\), \(EB=x+1\), \(CE=x-1\) y \(ED=x+3\), halla las longitudes.
Aplicamos: \[ AE\cdot EB = CE\cdot ED \] \[ x(x+1)=(x-1)(x+3) \]
Desarrollamos: \[ x^2+x=x^2+2x-3 \] \[ x=2x-3 \] \[ x=3 \]
Por lo tanto: \[ AE=3,\quad EB=4,\quad CE=2,\quad ED=6 \]
Ejercicio 7
Si \(AP=2x\), \(PB=5\), \(CP=4\) y \(PD=x+3\), calcula \(x\).
\[ AP\cdot PB = CP\cdot PD \] \[ (2x)\cdot 5 = 4(x+3) \] \[ 10x=4x+12 \] \[ 6x=12 \] \[ x=2 \]
Ejercicio 8
Dos cuerdas se intersectan en \(P\). Si \(AP=7\), \(PB=6\) y \(CP=3\), ¿cuánto mide la cuerda completa \(CD\)?
Primero calculamos \(PD\): \[ 7\cdot 6 = 3\cdot PD \] \[ 42 = 3\cdot PD \] \[ PD=14 \]
Como \(CD=CP+PD\): \[ CD=3+14=17 \]
Ejercicio 9
En una circunferencia, dos cuerdas se intersectan en \(P\). Se sabe que \(AP=12\), \(PB=3\), \(CP=9\) y \(PD=4\). ¿Se cumple el teorema de las cuerdas?
Revisamos ambos productos: \[ AP\cdot PB=12\cdot 3=36 \] \[ CP\cdot PD=9\cdot 4=36 \] Como los productos son iguales, sí se cumple el teorema.
Ejercicio 10
El punto \(P\) está dentro de una circunferencia. Una cuerda que pasa por \(P\) queda dividida en segmentos de \(4\) cm y \(9\) cm. Otra cuerda que también pasa por \(P\) queda dividida en un segmento de \(6\) cm y otro desconocido. Calcula el segmento desconocido.
La potencia del punto interior se mantiene: \[ 4\cdot 9 = 6\cdot x \] \[ 36=6x \] \[ x=6 \] El segmento desconocido mide \(6\) cm.
Ejercicio 11
Si \(AP=4\), \(PB=x+2\), \(CP=6\) y \(PD=x\), calcula \(x\).
\[ 4(x+2)=6x \] \[ 4x+8=6x \] \[ 8=2x \] \[ x=4 \]
Entonces \(PB=x+2=6\) y \(PD=x=4\).
Ejercicio 12
¿Cuál de las siguientes igualdades representa correctamente el teorema de las cuerdas si \( \overline{AB} \) y \( \overline{CD} \) se intersectan en \(P\)?
- \(AB\cdot CD=AP\cdot CP\)
- \(AP\cdot PB=CP\cdot PD\)
- \(AP+PB=CP+PD\)
- \(AP\cdot CP=PB\cdot PD\)
La alternativa correcta es B: \[ AP\cdot PB=CP\cdot PD \] Se multiplican los dos segmentos de una cuerda y se igualan con el producto de los dos segmentos de la otra cuerda.
Quedó más largo, pero pedagógicamente queda mejor: cada ejercicio tiene su propia escena, aunque varias compartan la misma e