Aplicaciones y Resolución de Problemas
2. Aplicaciones en el Mundo Real y Evaluación de Modelos
Objetivos
- Aplicar circunferencias y arcos en contextos reales.
- Evaluar supuestos de modelos geométricos.
- Resolver problemas con longitudes de arco, diámetro, sectores y áreas.
Modelar con cuidado
Una rueda, una ventana circular, un puente o un aspersor pueden modelarse con circunferencias. Sin embargo, el modelo simplifica la realidad: el grosor del material, los errores de medición y la forma exacta pueden cambiar el resultado.
Arco y sector circular
Para un ángulo central \(\theta\) en grados y radio \(r\):
\[ L=\frac{\theta}{360^\circ}\cdot 2\pi r \qquad A=\frac{\theta}{360^\circ}\cdot \pi r^2 \]
\(L\) representa la longitud del arco y \(A\) representa el área del sector.
Problema 1
Una ventana circular tiene un arco superior de \(120^\circ\) y radio \(50\) cm. Calcula la longitud del arco.
Usamos la fórmula de longitud de arco: \[ L=\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 50 \] \[ L=\frac{1}{3}\cdot 100\pi \] \[ L=\frac{100\pi}{3} \]
Aproximadamente: \[ L\approx 104{,}7\text{ cm} \]
Problema 2
Un puente tiene un arco semicircular de longitud \(50\) m. ¿Cuál es el diámetro del arco?
Una semicircunferencia tiene longitud: \[ L=\pi r \] Como \(L=50\): \[ 50=\pi r \] \[ r=\frac{50}{\pi} \]
El diámetro es el doble del radio: \[ d=2r=\frac{100}{\pi} \] \[ d\approx 31{,}8\text{ m} \]
Problema 3
Una tabla rectangular mide \(80\) cm por \(60\) cm. ¿Cuál es el radio del círculo más grande que se puede cortar dentro de ella?
El círculo más grande queda limitado por el lado menor del rectángulo.
Como el lado menor mide \(60\) cm, ese será el diámetro máximo: \[ d=60\text{ cm} \] \[ r=\frac{60}{2}=30\text{ cm} \]
El radio máximo es \(30\) cm.
Problema 4
Un aspersor en el centro de un jardín circular debe llegar al borde. Si el radio del jardín es \(15\) m, ¿cuál debe ser su alcance mínimo?
Si el aspersor está en el centro, todos los puntos del borde están a una distancia igual al radio.
Por lo tanto, su alcance mínimo debe ser: \[ 15\text{ m} \]
Problema 5
Un aspersor cubre un sector de \(90^\circ\) con radio \(10\) m. Calcula el área regada.
Usamos el área de un sector: \[ A=\frac{90^\circ}{360^\circ}\cdot \pi(10)^2 \] \[ A=\frac{1}{4}\cdot 100\pi \] \[ A=25\pi \]
Aproximadamente: \[ A\approx 78{,}5\text{ m}^2 \]
Problema 6
Una rueda de observación tiene radio \(12\) m. Si una cabina avanza un arco correspondiente a \(75^\circ\), ¿qué distancia recorre aproximadamente?
La cabina recorre una longitud de arco: \[ L=\frac{75^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi(12) \] \[ L=\frac{75}{360}\cdot 24\pi \] \[ L=5\pi \]
Aproximadamente: \[ L\approx 15{,}7\text{ m} \]
Problema 7
Una porción de pizza puede modelarse como un sector circular de \(60^\circ\) y radio \(18\) cm. Calcula el área de la porción y la longitud del borde curvo.
Área del sector: \[ A=\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot \pi(18)^2 \] \[ A=\frac{1}{6}\cdot 324\pi \] \[ A=54\pi\text{ cm}^2 \]
Longitud del borde curvo: \[ L=\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi(18) \] \[ L=\frac{1}{6}\cdot 36\pi \] \[ L=6\pi\text{ cm} \]
Problema 8
Una curva de una pista se modela como un arco circular de radio \(30\) m y ángulo central \(150^\circ\). Calcula la longitud de la curva.
Usamos longitud de arco: \[ L=\frac{150^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi(30) \] \[ L=\frac{5}{12}\cdot 60\pi \] \[ L=25\pi \]
Aproximadamente: \[ L\approx 78{,}5\text{ m} \]