Aplicaciones y Resolución de Problemas
1. Problemas Combinados: Relaciones Métricas en la Circunferencia
Objetivos
- Combinar relaciones angulares y métricas en una misma figura.
- Elegir el teorema adecuado según la configuración.
- Explicar el orden de resolución de un problema geométrico.
Integrar información
En estos problemas no basta con aplicar una fórmula de inmediato. Primero identifica qué elementos aparecen: ángulos, arcos, cuerdas, secantes o tangentes. Luego decide qué relación permite obtener el dato que falta.
Orden recomendado
- Reconoce la configuración geométrica.
- Decide si el problema es angular, métrico o mixto.
- Escribe la relación correcta.
- Reemplaza los datos y resuelve.
- Revisa si el resultado tiene sentido como longitud o como ángulo.
Problema 1
Dos secantes desde \(P\) interceptan arcos de \(140^\circ\) y \(60^\circ\). Calcula el ángulo exterior en \(P\).
Es un ángulo exterior formado por dos secantes. Por eso se usa semidiferencia de arcos: \[ \frac{140^\circ-60^\circ}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ \]
El ángulo exterior en \(P\) mide \(40^\circ\).
Problema 2
Dos cuerdas se cortan dentro de una circunferencia. Se sabe que \(AP=4\), \(PB=9\) y \(CP=6\). Calcula \(PD\).
Como son cuerdas que se intersectan dentro de la circunferencia: \[ AP\cdot PB=CP\cdot PD \] \[ 4\cdot 9=6\cdot PD \] \[ 36=6PD \] \[ PD=6 \]
Problema 3
Desde un punto exterior se traza una tangente de longitud \(10\) y una secante cuya parte exterior mide \(5\). Calcula la longitud total de la secante.
Se usa la relación tangente-secante: \[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ 10^2=5\cdot PB \] \[ 100=5PB \] \[ PB=20 \]
La longitud total de la secante es \(20\).
Problema 4
Demuestra brevemente por qué dos tangentes trazadas desde un mismo punto exterior tienen igual longitud.
Los radios \(OT\) y \(OS\) llegan a los puntos de tangencia, por lo que: \[ OT\perp PT \quad \text{y} \quad OS\perp PS \]
Se forman dos triángulos rectángulos: \( \triangle OPT \) y \( \triangle OPS \). Ambos tienen la misma hipotenusa \(OP\) y un cateto igual al radio: \[ OT=OS \] Por congruencia de triángulos rectángulos, se concluye que: \[ PT=PS \]
Problema 5
Desde \(P\) se traza una tangente \(PT=6\) y una secante con \(PA=x\), \(AB=x+2\). Encuentra \(x\).
Primero expresamos la longitud total de la secante: \[ PB=PA+AB=x+(x+2)=2x+2 \]
Luego aplicamos: \[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ 6^2=x(2x+2) \] \[ 36=2x^2+2x \] \[ x^2+x-18=0 \]
Usando la fórmula cuadrática: \[ x=\frac{-1+\sqrt{73}}{2} \] Como \(x\) representa una longitud: \[ x\approx 3{,}77 \]
Problema 6
Dos secantes desde \(P\) forman un ángulo exterior de \(35^\circ\). El arco mayor interceptado mide \(150^\circ\). Calcula el arco menor. Luego, si \(PA=6\), \(PB=14\) y \(PC=7\), calcula \(PD\).
Primero usamos la relación angular exterior. Sea \(x\) el arco menor: \[ 35^\circ=\frac{150^\circ-x}{2} \] \[ 70^\circ=150^\circ-x \] \[ x=80^\circ \]
Luego usamos la relación métrica de dos secantes: \[ PA\cdot PB=PC\cdot PD \] \[ 6\cdot 14=7\cdot PD \] \[ 84=7PD \] \[ PD=12 \]
El arco menor mide \(80^\circ\) y \(PD=12\).
Problema 7
Dos cuerdas se cortan dentro de una circunferencia. Los arcos interceptados miden \(110^\circ\) y \(50^\circ\). Además, \(AP=5\), \(PB=6\) y \(CP=3\). Calcula el ángulo interior y luego \(PD\).
Primero calculamos el ángulo interior. Como dos cuerdas se cruzan dentro, se usa semisuma: \[ \frac{110^\circ+50^\circ}{2} = \frac{160^\circ}{2} = 80^\circ \]
Luego calculamos \(PD\) con el teorema de cuerdas: \[ AP\cdot PB=CP\cdot PD \] \[ 5\cdot 6=3\cdot PD \] \[ 30=3PD \] \[ PD=10 \]
El ángulo interior mide \(80^\circ\) y \(PD=10\).
Problema 8
Desde un punto exterior \(P\) se traza una tangente \(PT\) y una secante \(PAB\). Si \(PA=2\), \(PB=18\) y el radio \(OT=4\), calcula \(PT\) y luego \(OP\).
Primero usamos tangente y secante: \[ PT^2=PA\cdot PB \] \[ PT^2=2\cdot 18=36 \] \[ PT=6 \]
Luego usamos que el radio al punto de tangencia es perpendicular a la tangente: \[ OT\perp PT \] Por lo tanto, \( \triangle OPT \) es rectángulo.
Aplicamos Pitágoras: \[ OP^2=OT^2+PT^2 \] \[ OP^2=4^2+6^2=16+36=52 \] \[ OP=\sqrt{52}=2\sqrt{13} \]