Libro de datos y modelos probabilisticos
12. Estandarización de distribuciones normales
Estandarización y puntaje z en distribución normal
Objetivos
- Comprender la estandarización de una distribución normal.
- Calcular e interpretar el puntaje \(z\).
- Comparar valores que provienen de distribuciones normales distintas.
- Usar una tabla normal para estimar probabilidades en intervalos.
¿Por qué estandarizar?
En una distribución normal, un mismo valor puede tener significados distintos según la media y la desviación estándar del grupo. Por ejemplo, estar \(10\) puntos sobre la media puede ser mucho en una prueba con poca dispersión, pero puede ser poco en otra prueba con mucha dispersión.
La estandarización permite transformar un dato \(x\) en un número que indica a cuántas desviaciones estándar está de la media. Ese número se llama puntaje \(z\).
Puntaje z
Si una variable se distribuye normalmente con media \(\mu\) y desviación estándar \(\sigma\), el puntaje estandarizado de un valor \(x\) es:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
- Si \(z=0\), el valor coincide con la media.
- Si \(z>0\), el valor está sobre la media.
- Si \(z<0\), el valor está bajo la media.
- Si \(|z|\) es grande, el valor está más alejado del centro.
Idea clave
El puntaje \(z\) no cambia el dato original: cambia la escala en que lo leemos. En vez de decir solo “el dato está \(75\) puntos sobre la media”, podemos decir “está a \(1{,}5\) desviaciones estándar sobre la media”.
Ejemplo 1: interpretar un puntaje
En una prueba, los puntajes se distribuyen aproximadamente normal con media \(\mu=500\) y desviación estándar \(\sigma=50\). Un estudiante obtiene \(x=575\). ¿Cuál es su puntaje \(z\)?
Aplicamos la fórmula:
\[ z=\frac{575-500}{50}=\frac{75}{50}=1{,}5 \]
El puntaje está a \(1{,}5\) desviaciones estándar sobre la media. Por lo tanto, es un resultado superior al centro del grupo, pero no extremadamente alejado.
Ejemplo 2: comparar dos contextos
Dos estudiantes obtienen los siguientes resultados:
| Estudiante | Puntaje | Media del grupo | Desviación estándar |
|---|---|---|---|
| A | \(620\) | \(560\) | \(40\) |
| B | \(720\) | \(660\) | \(80\) |
Para A:
\[ z_A=\frac{620-560}{40}=\frac{60}{40}=1{,}5 \]
Para B:
\[ z_B=\frac{720-660}{80}=\frac{60}{80}=0{,}75 \]
Aunque B tiene mayor puntaje bruto, A está más alejado sobre la media de su grupo. La estandarización permite hacer una comparación más justa entre grupos distintos.
Uso de tabla normal
Una tabla normal permite estimar probabilidades asociadas a puntajes \(z\). En este curso la usaremos para leer áreas bajo la curva normal estándar.
Una forma común de tabla entrega \(P(Z \leq z)\), es decir, la probabilidad acumulada hasta el valor \(z\). Por ejemplo:
| \(z\) | \(P(Z \leq z)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0{,}5000\) |
| \(1\) | \(0{,}8413\) |
| \(1{,}5\) | \(0{,}9332\) |
| \(2\) | \(0{,}9772\) |
Ejemplo 3: probabilidad acumulada
Las estaturas de un grupo se distribuyen aproximadamente normal con media \(\mu=170\) cm y desviación estándar \(\sigma=6\) cm. Estima la probabilidad de que una persona mida como máximo \(176\) cm.
Primero estandarizamos:
\[ z=\frac{176-170}{6}=\frac{6}{6}=1 \]
Luego leemos en la tabla:
\[ P(Z\leq 1)\approx 0{,}8413 \]
Entonces, aproximadamente el \(84{,}13\%\) de las personas mide como máximo \(176\) cm.
Ejemplo 4: probabilidad en un intervalo
En la misma distribución, estima la probabilidad de que una persona mida entre \(170\) cm y \(176\) cm.
Para \(170\):
\[ z=\frac{170-170}{6}=0 \]
Para \(176\):
\[ z=\frac{176-170}{6}=1 \]
Usamos la tabla:
\[ P(0\leq Z\leq 1)=P(Z\leq 1)-P(Z\leq 0) \]
\[ P(0\leq Z\leq 1)\approx 0{,}8413-0{,}5000=0{,}3413 \]
Aproximadamente el \(34{,}13\%\) de las personas mide entre \(170\) cm y \(176\) cm.
Error frecuente
No interpretes \(z=1{,}5\) como \(1{,}5\%\). El puntaje \(z\) no es un porcentaje: indica distancia respecto de la media medida en desviaciones estándar.
Ejercicios
Ejercicio 1
En una distribución normal con \(\mu=80\) y \(\sigma=10\), calcula el puntaje \(z\) para \(x=95\). Interpreta el resultado.
Aplicamos la fórmula:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Reemplazamos:
\[ z=\frac{95-80}{10}=\frac{15}{10}=1{,}5 \]
El valor \(95\) está a \(1{,}5\) desviaciones estándar sobre la media. Por lo tanto, está sobre el centro de la distribución, pero no corresponde a un valor extremadamente alejado.
Ejercicio 2
En una distribución normal con \(\mu=120\) y \(\sigma=15\), ¿qué valor \(x\) corresponde a \(z=-2\)?
Usamos:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Reemplazamos los datos:
\[ -2=\frac{x-120}{15} \]
Multiplicamos por \(15\):
\[ -30=x-120 \]
Sumamos \(120\):
\[ x=90 \]
El valor correspondiente es \(90\), que está \(2\) desviaciones estándar bajo la media.
Ejercicio 3
Dos grupos tienen distribuciones normales:
| Grupo | Dato | Media | Desviación estándar |
|---|---|---|---|
| A | \(68\) | \(60\) | \(4\) |
| B | \(75\) | \(65\) | \(10\) |
¿Cuál dato está más alejado de su media, en relación con la dispersión de su grupo?
Calculamos el puntaje \(z\) en cada grupo.
Para A:
\[ z_A=\frac{68-60}{4}=\frac{8}{4}=2 \]
Para B:
\[ z_B=\frac{75-65}{10}=\frac{10}{10}=1 \]
El dato del grupo A está más alejado de su media, porque su puntaje \(z\) tiene mayor valor absoluto.
Ejercicio 4
Una variable normal tiene \(\mu=50\) y \(\sigma=5\). Estima \(P(X\leq 55)\), sabiendo que \(P(Z\leq 1)\approx 0{,}8413\).
Estandarizamos \(55\):
\[ z=\frac{55-50}{5}=\frac{5}{5}=1 \]
Entonces:
\[ P(X\leq 55)=P(Z\leq 1) \]
Usando la información entregada:
\[ P(Z\leq 1)\approx 0{,}8413 \]
La probabilidad aproximada es \(0{,}8413\), es decir, \(84{,}13\%\).
Ejercicio 5
Una variable normal tiene \(\mu=200\) y \(\sigma=20\). Estima \(P(200\leq X\leq 220)\), sabiendo que \(P(Z\leq 0)=0{,}5000\) y \(P(Z\leq 1)\approx 0{,}8413\).
Para \(200\):
\[ z=\frac{200-200}{20}=0 \]
Para \(220\):
\[ z=\frac{220-200}{20}=1 \]
Entonces:
\[ P(200\leq X\leq 220)=P(0\leq Z\leq 1) \]
Usamos probabilidades acumuladas:
\[ P(0\leq Z\leq 1)=P(Z\leq 1)-P(Z\leq 0) \]
\[ P(0\leq Z\leq 1)\approx 0{,}8413-0{,}5000=0{,}3413 \]
La probabilidad aproximada es \(0{,}3413\), es decir, \(34{,}13\%\).
Ejercicio 6
Un valor tiene puntaje \(z=0\). ¿Qué se puede concluir sobre su posición respecto de la media?
Si \(z=0\), entonces:
\[ 0=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Como \(\sigma\neq 0\), se cumple que:
\[ x-\mu=0 \]
Por lo tanto:
\[ x=\mu \]
El valor coincide con la media de la distribución.
Ejercicio 7
Una variable normal tiene \(\mu=300\) y \(\sigma=25\). Estima \(P(X\leq 350)\), sabiendo que \(P(Z\leq 2)\approx 0{,}9772\).
Estandarizamos \(350\):
\[ z=\frac{350-300}{25}=\frac{50}{25}=2 \]
Por lo tanto:
\[ P(X\leq 350)=P(Z\leq 2) \]
Usando la información entregada:
\[ P(Z\leq 2)\approx 0{,}9772 \]
La probabilidad aproximada es \(0{,}9772\), es decir, \(97{,}72\%\).
Ejercicio 8
En una distribución normal, un dato tiene \(z=-1{,}5\). Interpreta este valor sin calcular una probabilidad.
El puntaje \(z=-1{,}5\) significa que el dato está a \(1{,}5\) desviaciones estándar bajo la media.
El signo negativo indica que está bajo el centro de la distribución.
Como \(|z|=1{,}5\), el dato está algo alejado del centro, pero no se interpreta como un valor extremo.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
En una distribución normal con \(\mu=100\) y \(\sigma=20\), ¿cuál es el puntaje \(z\) asociado al valor \(x=140\)?
- \(1\)
- \(2\)
- \(-2\)
- \(40\)
Aplicamos:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
\[ z=\frac{140-100}{20}=\frac{40}{20}=2 \]
Alternativa correcta: b.
PAES 2
Un valor tiene puntaje \(z=-1\). ¿Cuál es la interpretación correcta?
- Está una desviación estándar sobre la media.
- Está una desviación estándar bajo la media.
- Coincide con la media.
- Representa una probabilidad de \(-1\).
El signo negativo indica que el valor está bajo la media.
Como \(|z|=1\), está a una desviación estándar del centro.
Alternativa correcta: b.
PAES 3
Una variable normal tiene \(\mu=60\) y \(\sigma=12\). ¿Qué valor \(x\) corresponde a \(z=1{,}5\)?
- \(66\)
- \(72\)
- \(78\)
- \(90\)
Usamos:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Reemplazamos:
\[ 1{,}5=\frac{x-60}{12} \]
Multiplicamos por \(12\):
\[ 18=x-60 \]
Entonces:
\[ x=78 \]
Alternativa correcta: c.
PAES 4
Si \(P(Z\leq 1)=0{,}8413\) y \(P(Z\leq 0)=0{,}5000\), entonces \(P(0\leq Z\leq 1)\) es:
- \(0{,}5000\)
- \(0{,}8413\)
- \(0{,}3413\)
- \(1{,}3413\)
Para calcular la probabilidad entre \(0\) y \(1\), restamos las probabilidades acumuladas:
\[ P(0\leq Z\leq 1)=P(Z\leq 1)-P(Z\leq 0) \]
\[ P(0\leq Z\leq 1)=0{,}8413-0{,}5000=0{,}3413 \]
Alternativa correcta: c.
Para recordar
Estandarizar no cambia el contexto del problema: lo que cambia es la escala. El puntaje \(z\) permite leer un dato en relación con la media y la desviación estándar, y también usar la tabla normal para estimar probabilidades.