Libro de datos y modelos probabilisticos
1. Diagnostico
Página 1: Diagnóstico breve y repaso de probabilidad simple
Presentación
En esta página comenzaremos con un repaso de ideas fundamentales de probabilidad. Trabajaremos con los conceptos de experimento aleatorio, resultado, evento y probabilidad simple, junto con algunas preguntas breves de diagnóstico para reconocer lo que ya sabes y lo que necesitamos reforzar.
Objetivo de la página
- Reconocer qué es un experimento aleatorio.
- Identificar el espacio muestral en experimentos sencillos.
- Distinguir entre resultado y evento.
- Describir eventos con palabras y también con resultados.
- Calcular probabilidades simples en contextos cotidianos.
- Determinar probabilidades cuando todos los resultados son equiprobables.
- Detectar errores frecuentes de interpretación.
Conceptos básicos
- Experimento aleatorio: proceso cuyo resultado no se puede predecir con certeza antes de realizarlo.
- Resultado: cada posible salida concreta del experimento.
- Evento: conjunto de uno o más resultados que cumplen una condición.
- Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
- Probabilidad simple: si todos los resultados son igualmente posibles, entonces:
Idea clave
Un resultado suele ser una sola posibilidad concreta. En cambio, un evento puede reunir varios resultados.
Por ejemplo, al lanzar un dado:
- Resultado: “sale 4”.
- Evento: “sale un número par”, que incluye \(2\), \(4\) y \(6\).
Error frecuente
No confundas evento con resultado. Decir “obtener un número menor que 5” no es un solo resultado: es un evento formado por varios resultados posibles.
Resumen inicial
| Concepto | Qué significa | Ejemplo al lanzar un dado |
|---|---|---|
| Experimento aleatorio | Acción cuyo resultado no se conoce antes de realizarla | Lanzar un dado |
| Espacio muestral | Conjunto de todos los resultados posibles | \(\{1,2,3,4,5,6\}\) |
| Resultado | Una salida específica | Sale \(3\) |
| Evento | Conjunto de resultados que cumplen una condición | Sale un número impar: \(\{1,3,5\}\) |
| Probabilidad | Medida de qué tan posible es un evento | \(P(\text{impar})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\) |
Ejemplo guiado 1
Se lanza una moneda una vez.
Experimento aleatorio: lanzar una moneda.
Espacio muestral: \(\{\text{cara},\text{sello}\}\).
Evento: “obtener cara”.
Como hay \(1\) caso favorable y \(2\) casos posibles, se obtiene:
\[ P(\text{cara})=\frac{1}{2} \]
Ejemplo guiado 2
Se lanza un dado equilibrado de 6 caras. Queremos calcular la probabilidad del evento “obtener un número mayor que 4”.
Espacio muestral: \(\{1,2,3,4,5,6\}\).
Evento mayor que 4: \(\{5,6\}\).
Hay \(2\) casos favorables y \(6\) casos posibles, entonces:
\[ P(\text{número mayor que 4})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
Por lo tanto, la probabilidad de obtener un número mayor que \(4\) es \(\frac{1}{3}\).
¿Cuándo sirve la fórmula?
La fórmula \(P(A)=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}\) se usa directamente cuando todos los resultados tienen la misma posibilidad de ocurrir, como al lanzar una moneda equilibrada, un dado equilibrado o al extraer una bolita al azar de una bolsa bien mezclada.
Diagnóstico breve
Pregunta 1
Indica cuál de las siguientes situaciones corresponde a un experimento aleatorio.
- Calcular \(3+4\).
- Lanzar un dado y observar el número obtenido.
- Dibujar un triángulo equilátero con regla.
- Escribir los divisores de \(12\).
Respuesta: la alternativa correcta es b.
Justificación: al lanzar un dado no se sabe con certeza qué número saldrá antes de realizar el experimento. En cambio, calcular \(3+4\), dibujar una figura siguiendo instrucciones o escribir divisores son acciones con resultado determinado.
Pregunta 2
Al lanzar una moneda una vez, escribe:
- el experimento aleatorio,
- los resultados posibles,
- un evento posible.
Una posible respuesta:
- Experimento aleatorio: lanzar una moneda.
- Resultados posibles: cara y sello.
- Espacio muestral: \(\{\text{cara},\text{sello}\}\).
- Evento posible: obtener cara, que se puede representar como \(\{\text{cara}\}\).
Pregunta 3
En el experimento “lanzar un dado”, clasifica cada expresión como resultado o evento:
- “Sale \(2\)”.
- “Sale un número par”.
- “Sale un número menor que \(5\)”.
- a) Resultado, porque describe una única salida concreta: \(2\).
- b) Evento, porque incluye varios resultados: \(\{2,4,6\}\).
- c) Evento, porque incluye varios resultados: \(\{1,2,3,4\}\).
Conclusión: solo “sale \(2\)” corresponde a un resultado individual.
Pregunta 4
Se lanza un dado equilibrado. Calcula la probabilidad de obtener un número impar.
El espacio muestral es:
\[ \{1,2,3,4,5,6\} \]
Los números impares son:
\[ \{1,3,5\} \]
Hay \(3\) casos favorables de \(6\) casos posibles. Por lo tanto:
\[ P(\text{impar})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
Pregunta 5
En una bolsa hay \(5\) bolitas rojas y \(3\) bolitas azules. Se extrae una bolita al azar.
- ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita roja?
- ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita azul?
Primero calculamos el total de bolitas:
\[ 5+3=8 \]
a) Hay \(5\) bolitas rojas de \(8\) bolitas en total:
\[ P(\text{roja})=\frac{5}{8} \]
b) Hay \(3\) bolitas azules de \(8\) bolitas en total:
\[ P(\text{azul})=\frac{3}{8} \]
Pregunta 6
Se extrae al azar una carta de este conjunto: \(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\).
- Escribe el evento \(A\): “obtener un número mayor que \(7\)”.
- Calcula \(P(A)\).
a) Los números mayores que \(7\) son \(8\), \(9\) y \(10\). Entonces:
\[ A=\{8,9,10\} \]
b) Hay \(3\) casos favorables de \(10\) posibles, por lo tanto:
\[ P(A)=\frac{3}{10} \]
Pregunta 7
Una ruleta tiene \(8\) sectores iguales numerados del \(1\) al \(8\). Calcula la probabilidad de obtener:
- un múltiplo de \(2\),
- un número primo.
Como la ruleta tiene \(8\) sectores iguales, todos los resultados son equiprobables.
a) Los múltiplos de \(2\) entre \(1\) y \(8\) son:
\[ \{2,4,6,8\} \]
Entonces:
\[ P(\text{múltiplo de }2)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \]
b) Los números primos entre \(1\) y \(8\) son:
\[ \{2,3,5,7\} \]
Entonces:
\[ P(\text{primo})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \]
Observación: el número \(1\) no es primo.
Pregunta 8
Puente tipo PAES: En una bolsa hay \(4\) fichas numeradas: \(1\), \(2\), \(3\) y \(4\). Se extrae una ficha al azar.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
- La probabilidad de obtener un número par es \(\frac{1}{4}\).
- La probabilidad de obtener un número menor que \(5\) es \(\frac{1}{2}\).
- La probabilidad de obtener un número impar es \(\frac{2}{4}\).
- La probabilidad de obtener el número \(5\) es \(\frac{1}{4}\).
Respuesta correcta: c.
Los números impares son:
\[ \{1,3\} \]
Hay \(2\) casos favorables de \(4\) posibles:
\[ P(\text{impar})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]
Revisión de distractores:
- a) Incorrecta, porque los pares son \(2\) y \(4\), entonces la probabilidad es \(\frac{2}{4}\), no \(\frac{1}{4}\).
- b) Incorrecta, porque todos los números son menores que \(5\), entonces la probabilidad es \(\frac{4}{4}=1\).
- d) Incorrecta, porque el \(5\) no está en la bolsa, así que la probabilidad es \(0\).
Pregunta 9
Un estudiante dice: “Al lanzar un dado, la probabilidad de obtener un número menor que \(5\) es \(\frac{1}{6}\), porque ‘menor que \(5\)’ es un solo evento”.
Explica el error y calcula la probabilidad correcta.
El error está en confundir evento con resultado.
“Obtener un número menor que \(5\)” es un evento, pero está formado por varios resultados:
\[ \{1,2,3,4\} \]
Por lo tanto, hay \(4\) casos favorables de \(6\) casos posibles:
\[ P(\text{menor que }5)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \]
La probabilidad correcta es \(\frac{2}{3}\), no \(\frac{1}{6}\).
Probabilidad en la vida cotidiana
La probabilidad aparece cuando analizamos juegos de azar, pronósticos del tiempo, encuestas, controles de calidad, deportes y toma de decisiones en contextos de incertidumbre. Por eso es importante comenzar distinguiendo bien entre resultado, evento y probabilidad.
Cierre
Para recordar
- Primero identifica el experimento aleatorio.
- Luego enumera los resultados posibles o espacio muestral.
- Después define el evento que te piden.
- Finalmente calcula la probabilidad como razón entre casos favorables y casos posibles, si todos los resultados son equiprobables.
Proyección
En esta primera página repasamos las ideas base que necesitaremos para avanzar después hacia situaciones con dos resultados posibles, ensayos repetidos y modelo binomial.