Libro de datos y modelos probabilisticos
13. Comparación de la distribución binomial y la distribución normal
Comparación entre distribución binomial y distribución normal
Objetivos
- Comparar la distribución binomial y la distribución normal.
- Reconocer cuándo un modelo corresponde a datos discretos o continuos.
- Identificar semejanzas y diferencias entre ambos modelos.
- Evaluar alcances y limitaciones de cada modelo para tomar decisiones.
Dos modelos para estudiar la incerteza
La distribución binomial y la distribución normal son modelos probabilísticos. Ambos ayudan a estudiar situaciones con incertidumbre, pero no se usan exactamente para lo mismo.
La distribución binomial aparece cuando se repite un experimento con dos resultados posibles, como éxito o fracaso. La distribución normal aparece en muchos conjuntos de datos continuos, donde los valores se agrupan alrededor de una media y se dispersan de manera aproximadamente simétrica.
Comparación general
| Aspecto | Distribución binomial | Distribución normal |
|---|---|---|
| Tipo de variable | Discreta: cuenta éxitos. | Continua: mide cantidades. |
| Valores posibles | \(0,1,2,\ldots,n\) | Valores en intervalos de la recta numérica. |
| Parámetros principales | \(n\), \(p\) y \(q=1-p\) | \(\mu\) y \(\sigma\) |
| Representación usual | Barras o histograma discreto. | Curva de campana. |
| Pregunta típica | ¿Cuál es la probabilidad de obtener \(k\) éxitos? | ¿Cuál es la probabilidad de que el dato esté en cierto intervalo? |
Modelo binomial
Una situación puede modelarse con distribución binomial cuando:
- hay una cantidad fija de repeticiones \(n\);
- cada repetición tiene dos resultados posibles;
- la probabilidad de éxito \(p\) se mantiene constante;
- los ensayos se consideran independientes.
La probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos es:
\[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \]
Modelo normal
Una situación puede modelarse con distribución normal cuando los datos son continuos o se interpretan en intervalos, se agrupan alrededor de una media \(\mu\), y la dispersión puede describirse mediante la desviación estándar \(\sigma\).
Para comparar valores o usar tabla normal, se puede estandarizar:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Ejemplo 1: elegir el modelo adecuado
Una empresa revisa \(20\) productos y registra cuántos salen defectuosos. La probabilidad de defecto en cada producto es aproximadamente \(0{,}04\). ¿Qué modelo conviene usar?
Se cuenta la cantidad de productos defectuosos en un número fijo de revisiones. Cada producto puede clasificarse como defectuoso o no defectuoso.
Por eso, el modelo adecuado es binomial:
\[ X=\text{número de productos defectuosos}, \qquad n=20,\qquad p=0{,}04 \]
Ejemplo 2: elegir modelo con datos continuos
En un curso se estudian los tiempos de reacción de estudiantes ante una señal, medidos en segundos. Los datos se agrupan alrededor de una media y se dispersan de forma aproximadamente simétrica. ¿Qué modelo conviene usar?
El tiempo de reacción es una medida continua, no una cuenta de éxitos. Además, interesa estudiar intervalos de valores, como tiempos menores que cierto umbral o entre dos valores.
Por eso, el modelo adecuado es normal, siempre que la forma de los datos sea aproximadamente compatible con una curva de campana.
Ejemplo 3: una conexión entre ambos modelos
Se lanza una moneda equilibrada muchas veces y se registra la cantidad de caras. Para pocas repeticiones, el histograma de resultados es discreto. ¿Qué ocurre cuando el número de repeticiones crece?
La variable sigue siendo binomial, porque cuenta éxitos. Sin embargo, cuando \(n\) crece y la distribución no queda demasiado cargada hacia un extremo, el histograma puede verse cada vez más parecido a una campana.
Esto explica por qué, en algunos casos, la distribución normal puede servir como aproximación visual o práctica de una distribución binomial. Esa aproximación debe usarse con cuidado, porque la binomial sigue siendo discreta.
Atención
No toda situación con forma de campana debe tratarse automáticamente como normal. Tampoco toda situación con dos opciones debe resolverse sin revisar independencia, cantidad fija de ensayos y probabilidad constante.
Antes de calcular, hay que evaluar si el modelo representa razonablemente el fenómeno.
Tomar decisiones con modelos
En contextos reales, un modelo no es la realidad completa. Sirve para organizar información, estimar probabilidades y argumentar decisiones, pero siempre depende de supuestos.
Por eso es importante revisar qué se está simplificando: independencia, estabilidad de la probabilidad, tamaño de la muestra, forma de los datos o calidad de la información.
Ejercicios
Ejercicio 1
Clasifica la situación como más cercana a un modelo binomial o normal: se pregunta a \(50\) personas si prefieren o no un producto nuevo, y se cuenta cuántas responden que sí.
Es más cercana a un modelo binomial.
Hay \(50\) repeticiones, cada persona entrega una respuesta dicotómica para este análisis: sí o no, y se cuenta el número de respuestas afirmativas.
Si las respuestas pudieran considerarse independientes y la probabilidad de responder “sí” fuera aproximadamente constante, podría modelarse como:
\[ X=\text{número de personas que responden sí} \]
Ejercicio 2
Clasifica la situación como más cercana a un modelo binomial o normal: se registran las estaturas de estudiantes de 4° medio y se estudia qué porcentaje mide entre dos valores dados.
Es más cercana a un modelo normal, si los datos se distribuyen aproximadamente con forma de campana.
La estatura es una variable continua y la pregunta se plantea sobre un intervalo, por ejemplo:
\[ P(a\leq X\leq b) \]
Por eso no corresponde contar éxitos discretos, sino estudiar valores dentro de un rango.
Ejercicio 3
Una variable \(X\) representa el número de respuestas correctas al adivinar \(8\) preguntas de verdadero o falso. ¿Qué valores puede tomar \(X\)? ¿Es discreta o continua?
La variable \(X\) cuenta respuestas correctas, por lo tanto solo puede tomar valores enteros.
Como hay \(8\) preguntas, los valores posibles son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8 \]
Es una variable discreta, porque cuenta la cantidad de respuestas correctas.
Esta situación se puede estudiar con un modelo binomial si se cumplen los supuestos del modelo.
Ejercicio 4
Un grupo de puntajes sigue aproximadamente una distribución normal con \(\mu=500\) y \(\sigma=50\). ¿La pregunta \(P(X=550)\) es más apropiada o menos apropiada que \(P(500\leq X\leq 550)\)? Explica.
Es más apropiada la pregunta:
\[ P(500\leq X\leq 550) \]
En una distribución normal, que es continua, se trabaja con probabilidades de intervalos.
La probabilidad de un valor puntual exacto, como \(P(X=550)\), se interpreta como \(0\) en el modelo continuo. Eso no significa que \(550\) sea imposible como puntaje observado, sino que el modelo asigna probabilidad a intervalos, no a puntos exactos.
Ejercicio 5
En un control de calidad, se revisan \(100\) ampolletas y se cuenta cuántas fallan antes de cierto tiempo. Indica dos supuestos que habría que revisar antes de usar un modelo binomial.
Dos supuestos importantes son:
- que cada ampolleta pueda clasificarse en dos resultados para este análisis: falla o no falla antes del tiempo fijado;
- que la probabilidad de falla sea aproximadamente constante para cada ampolleta.
También conviene revisar si las observaciones pueden tratarse como independientes, es decir, que la falla de una ampolleta no cambie la probabilidad de falla de otra.
Ejercicio 6
Un estudiante afirma: “Si una distribución binomial se parece visualmente a una campana, entonces ya no es binomial”. ¿Es correcta la afirmación?
No es correcta.
Una distribución binomial puede tener un histograma con forma parecida a una campana cuando el número de ensayos es grande y los parámetros lo permiten.
Sin embargo, sigue siendo binomial porque la variable cuenta éxitos y toma valores discretos:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ldots,n \]
La forma visual puede parecerse a la normal, pero el tipo de variable y el modelo de origen siguen siendo binomiales.
Ejercicio 7
Una encuesta escolar quiere estimar si conviene cambiar el horario de entrada. Se consulta a \(200\) estudiantes si están de acuerdo o no. ¿Qué información matemática puede aportar un modelo binomial y qué limitación tendría?
Un modelo binomial puede ayudar a estimar probabilidades relacionadas con la cantidad de estudiantes que responden “sí”, si se asume una probabilidad de apoyo y condiciones similares para las respuestas.
Por ejemplo, podría modelarse:
\[ X=\text{número de estudiantes que están de acuerdo} \]
Una limitación es que el modelo no explica por sí solo las razones de las respuestas ni garantiza que la muestra represente a todos los estudiantes.
Para tomar una decisión, habría que analizar también la calidad de los datos, el contexto escolar y si la forma de recoger las respuestas fue adecuada.
Para recordar
La binomial cuenta éxitos en ensayos repetidos. La normal describe datos continuos alrededor de una media. Comparar modelos no es solo mirar fórmulas: también implica revisar si los supuestos del modelo tienen sentido en el contexto.