Libro de funciones potencias y trigonometricas
5. Ley de gravitación universal como función potencia
Objetivos
- Modelar una relación de decrecimiento usando una función potencia de exponente entero negativo.
- Interpretar cómo cambia una magnitud cuando la distancia aumenta.
- Usar tablas y razones para describir el comportamiento de un modelo inverso cuadrático.
Un contexto de modelamiento
La ley de gravitación universal describe, de manera simplificada, la fuerza de atracción entre dos cuerpos con masa. En este curso no estudiaremos física en profundidad: usaremos la relación como contexto para analizar una función potencia.
Si las masas se mantienen constantes, la fuerza depende de la distancia \(r\) entre los cuerpos. Al aumentar la distancia, la fuerza disminuye.
Modelo inverso cuadrático
La ley de gravitación universal se puede escribir como:
\[ F=G\frac{m_1m_2}{r^2} \]
Si \(G\), \(m_1\) y \(m_2\) se mantienen constantes, el modelo tiene la forma:
\[ F=\frac{k}{r^2}=k\cdot r^{-2} \]
Esta es una función potencia de exponente entero negativo.
Ejemplo 1: duplicar la distancia
Supongamos que, a una distancia \(r\), la fuerza es \(F\). ¿Qué ocurre si la distancia se duplica?
El modelo es:
\[ F(r)=\frac{k}{r^2} \]
Si la distancia se duplica, usamos \(2r\):
\[ F(2r)=\frac{k}{(2r)^2}=\frac{k}{4r^2}=\frac{1}{4}\cdot \frac{k}{r^2} \]
Como \(\frac{k}{r^2}=F(r)\), entonces:
\[ F(2r)=\frac{1}{4}F(r) \]
Al duplicar la distancia, la fuerza se reduce a la cuarta parte.
Ejemplo 2: tabla de valores relativos
Consideremos el modelo simplificado \(F(r)=\frac{100}{r^2}\), con \(r>0\).
| \(r\) | \(F(r)=\frac{100}{r^2}\) | Interpretación |
|---|---|---|
| \(1\) | \(100\) | Valor de referencia. |
| \(2\) | \(25\) | La fuerza es la cuarta parte. |
| \(5\) | \(4\) | La fuerza disminuye rápidamente. |
| \(10\) | \(1\) | La fuerza es mucho menor. |
La tabla muestra un decrecimiento no lineal: al aumentar \(r\), la fuerza baja rápidamente, pero siempre se mantiene positiva.
Representación gráfica
El gráfico muestra que el modelo decrece rápido cerca de \(r=0\) y luego se acerca lentamente a \(0\) cuando \(r\) aumenta.
Atención
No confundas \(r^2\) con \(2r\). En el modelo \(\frac{k}{r^2}\), si la distancia se triplica, el denominador se multiplica por \(3^2=9\), no por \(3\).
Ejercicio 1
En el modelo \(F(r)=\frac{80}{r^2}\), calcula \(F(2)\) y \(F(4)\).
Calculamos \(F(2)\):
\[ F(2)=\frac{80}{2^2}=\frac{80}{4}=20 \]
Calculamos \(F(4)\):
\[ F(4)=\frac{80}{4^2}=\frac{80}{16}=5 \]
Al duplicar la distancia de \(2\) a \(4\), la fuerza baja de \(20\) a \(5\), que es la cuarta parte.
Ejercicio 2
Si la distancia se triplica en un modelo \(F(r)=\frac{k}{r^2}\), ¿por qué factor se multiplica la fuerza?
Si la nueva distancia es \(3r\), entonces:
\[ F(3r)=\frac{k}{(3r)^2} \]
Como \((3r)^2=9r^2\), se obtiene:
\[ F(3r)=\frac{k}{9r^2}=\frac{1}{9}\cdot \frac{k}{r^2} \]
Como \(\frac{k}{r^2}=F(r)\), entonces:
\[ F(3r)=\frac{1}{9}F(r) \]
La fuerza se multiplica por \(\frac{1}{9}\).
Ejercicio 3
Completa mentalmente la idea: si la distancia se reduce a la mitad, ¿qué ocurre con la fuerza en un modelo inverso cuadrático?
Si la nueva distancia es \(\frac{r}{2}\), entonces:
\[ F\left(\frac{r}{2}\right)=\frac{k}{\left(\frac{r}{2}\right)^2} \]
Como \(\left(\frac{r}{2}\right)^2=\frac{r^2}{4}\), se obtiene:
\[ F\left(\frac{r}{2}\right)=\frac{k}{\frac{r^2}{4}}=4\cdot \frac{k}{r^2} \]
Como \(\frac{k}{r^2}=F(r)\), entonces:
\[ F\left(\frac{r}{2}\right)=4F(r) \]
La fuerza se cuadruplica.
Ejercicio 4
Un estudiante dice: “Si la distancia aumenta al doble, la fuerza baja a la mitad”. Explica el error.
El error es tratar el modelo como una proporcionalidad inversa simple.
En este caso, la distancia está al cuadrado:
\[ F(r)=\frac{k}{r^2} \]
Si la distancia se duplica:
\[ F(2r)=\frac{k}{(2r)^2}=\frac{k}{4r^2}=\frac{1}{4}F(r) \]
Por lo tanto, al duplicar la distancia, la fuerza baja a la cuarta parte, no a la mitad.
Ejercicio 5
En el modelo \(F(r)=\frac{120}{r^2}\), determina para qué valor de \(r\) se obtiene \(F(r)=30\).
Planteamos la ecuación:
\[ 30=\frac{120}{r^2} \]
Multiplicamos por \(r^2\):
\[ 30r^2=120 \]
Dividimos por \(30\):
\[ r^2=4 \]
Como \(r>0\), se obtiene:
\[ r=2 \]
Ejercicio 6
Describe con palabras el comportamiento del gráfico de \(F(r)=\frac{k}{r^2}\), con \(k>0\) y \(r>0\).
El gráfico está en el primer cuadrante, toma valores positivos y decrece cuando \(r\) aumenta.
Cerca de \(r=0\), los valores de \(F(r)\) son muy grandes. Cuando \(r\) crece mucho, \(F(r)\) se acerca a \(0\), pero no se hace negativa.
Por eso se trata de un modelo de decrecimiento inverso cuadrático.
Para recordar
La ley de gravitación universal sirve como ejemplo de función potencia con exponente negativo. Lo importante para esta unidad es reconocer cómo un modelo matemático describe y predice cambios en una situación.